大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
?1???2?2??3?0???2??2?24?13?2?34?12032??4???3?0623A=
2???6?3??4?.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵
A=
的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化
下列二次型为标准形
2 f(x1,x2,x3)=x1?2x2?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本
22-1
大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）=E+A+A2.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。
2是其导出组
Ax=0的一个基础解系.试证明
答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 6.D
2.B 7.C
3.B 8.A
4.D 9.A
5.C 10.B
11.A 12.B 13.D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 616. ??3??123?327??7?17. 418. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数20. n-r21. –522.
22–223. 1 24.
z1?z2?z3?z4
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.解（1）AB=|4A|=64
3?521110?5?13132?4?1?3?T
?1??3???12420??2??0??3??1???1?2??4??0?=
?8??18??36??10??10?124200??21.（2）|4A|=4|A|=64|A|，而|A|=-2
）
512?510?0?6?52?53
3?1.所以
解
·
5?110?5110?5?1313（
1?100511?51=-12826.
=
?11?5?10=
?6?5?30?10?40.27.解 AB=A+2B
即（A-2E）B=A
?1??1???1?4?56，而（
212A-2E
3??0??3?）
-1
=
?2??1???1?3??2???2?8?9122?123??0??1??6???6?.?9??1?1???1???1?4?56?3???3?.?4?所以
B=(A-2E)A=
-1
?3??4???3??1??4???1=28.解一
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??2??1?0??31?324302?10??0???1??1????04???9??0?5?3113301?1?2??1???1??0????02???12??00100318?145??1??2??0????08????14??0010031105??1??2??0????01???0??0010000102??1?,1??0?
所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.
??2x1?x2?3x3?0??x1?3x2??1??2x2?2x3?4?3x1?4x2?x3?9.?解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即
方程组有唯一解（2，1，1），组合系
T
数为（2
?2039，1
?10260683，1）.29.解
?2300?12008
0 对矩阵
?2300A
?12000830施行初等行变换
A
?1??0????0??02??1???2??0????0?2????2??06?212??1???3??0????0?2???7??02???3??1??0?=B.（1）秩（B）=3，所
以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无
?25/5???1=??5/5???0???25/15???2=?45/15???5/3??关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）， ξ2=（2，0，1）.经正交标准化，得η
TT
，η.
λ=-8的一个特征向量为ξ3=
?1????2?????2??1?D=?0??0，经单位化得η
3=
?1/3???2/3??.????2/3?所求正交矩阵为
T=
?25/5???5/5?0?215/1545/155/31/3??2/3???2/3?010.对角矩阵
0??0?.??8?（也可取
?25/5?T=?0??5/5215/15?5/3?45/151/3??2/3???2/3?.）
31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32
?y1?x1?2x2?2x3??222
x2?x3=（x1+2x2-2x3）-2（x2-x3）-5x3.设?y2???y3?x3??1?C=?0??0?2100??1??1??x1?y1?2y2?y2?y3即?x2??x?y3?3， ，
因其系数矩阵
可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形
y12-2y22-5y32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
2
3
32.证 由于（E-A）（E+A+A）=E-A=E，
所以E-A可逆，且
（E-A）-1= E+A+A2 .33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
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即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ
2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而
l0=0 .
所以η0，η1，η2线性无关。
一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、设A，B为n阶方阵，满足等式AB?0，则必有（ ）
(A)A?0或B?0; (B)A?B?0； （C）A?0或B?0; (D)A?B?0。 2、A和B均为n阶矩阵，且(A?B)2?A2?2AB?B2，则必有（ ） (A) A?E； (B)B?E； （C） A?B. (D) AB?BA。 3、设A为m?n矩阵，齐次方程组Ax?0仅有零解的充要条件是（ ） (A) A的列向量线性无关； (B) A的列向量线性相关； （C） A的行向量线性无关； (D) A的行向量线性相关. 4、 n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A的秩小于n； (B) A?0；
(C) A的特征值都等于零； (D) A的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）
5、若4阶矩阵A的行列式A??5，A?是A的伴随矩阵，则A?= 。 6、A为n?n阶矩阵，且A2?A?2E?0，则(A?2E)?1? 。
?1?7、已知方程组?2?1?23a??x1??a?2??x2??2???x31??1???????3?无解，则a? 。 ??4????8、二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x22?tx32?2x1x2?2x1x3是正定的，则t的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式
1?xD?11111?x11111?y11111?yx1?3x2x2?3?x2??xnxn?xn?310、计算n阶行列式Dn?x1?x1
?
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）
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11、若向量组?1,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关。证明：(1) ?1能有?2,?3线性表出；(2) ?4不能由?1,?2,?3线性表出。12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，A?E可逆，且f(A)?(E?A)(E?A)?1。证明（1） (E?f(A))(E?A)?2E；（2） f(f(A))?A。 五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤
?2?13、设A??0?0??x1?x2?x3??x1?2x2?ax3?x?4x?a2x23?10320??2，求一个正交矩阵P使得P?1AP为对角矩阵。14、已知方程组?3???0?0与方程组x1?2x2?x3 ?a?1有公共解。求a的值。15、设四元非齐次?0?2????3?线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1，?2，?3是它的三个解向量，且?1???，
4???5????1????2? ?2??3???求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。
3???4???二、填空题5、-125; 6、； 7、-1； 8、t?。
25?3xx1?x0101y101y1?y三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：D?101
x0?x0001y1000?y第二列减第一列，第四列减第三列得：D?101 （4分）
?x1y100按第三列展开得D??xy?y按第一行展开得D?x00?x10y?xy22。 （4分）
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?n?10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子??xi?3?，再通过行列式的变换化
?i?1?1?n?1为上三角形行列式Dn???xi?3??i?1??1?n?（4x?3?i??
?i?1?x2x2?3?x2??xnxn?xn?31?n?0 （4分）???xi?3??i?1??0x23?0??xn0?
??3?3n?1分）四、证明题11、证明：(1)、 因为?2，所以?2，?3,?3线性无关，?3线性无关。，又?1，?2，?3线性相关，故?1能由?2，?3线性表出。 (4分)
r(?1，?2，?3)?3，（2）、（反正法）若不，则?4能由?1，?2,?3线性表出，
?3线性表出，不妨设不妨设?4?k1?1?k2?2?k3?3。由（1）知，?1能由?2，?1?t1?2?t2?3。所以?4?k1(t1?2?t2?3)?k2?2?k3?3，
?3,?4线性相关，矛盾。 12、证明 （1）这表明?2，(E?f(A))(E?A)?[E?(E?A)(E?A)](E?A)?(E?A)?(E?A)(E?A)(E?A)?(E?A)?(E?A)?2Ef(f(A))?[E?f(A)][E?f(A)]?1?1?1 （4分）（2）
12(E?A)?1?1由（1）得：[E?f(A)]?1?(E?A)?12，代入上式得
12(E?A)f(f(A))?[E?(E?A)(E?A)]?12(E?A)?1212(E?A)?(E?A)(E?A)(E?A)?A （4分）
五、解答题13、解：（1）由?E?A?0得A的特征值为?1?1，?2?2，?3?5。 （4
?0??1?????分）（2）?1?1的特征向量为?1???1?，?2?2的特征向量为?2??0?，?3?5的特征向量为
?1??0??????0????3?1。 （3分）（3）因为特征值不相等，则?1,?2,?3正交。 ???1???共3页第15页
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