大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
???1????2????3?0????1??2??3，矛盾。2007
年《线性代数》（经管类）
最新模拟试题及答案
一、单项选择题
1．如果将n阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（ ）A．不变 B．变号C．若n为奇数，行列式变号；若n为偶数，行列式不变D．若n为奇数，行列式不变；若n为偶数，行列式变号2．设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（ ）A．若A2?0，则A?0B．若A2?A，则A?0或A?EC．若AB?AC，且A?0，则B?CD．若AB?BA，则(A?B)2?A2?2AB?B23．设A为m?n矩阵，若齐次线性方程组AX?0只有零解，则对任意m维非零列向量b，非齐次线性方程组AX?b（ ）A．必有唯一解 B．必无解C．必有无穷多解 D．可能有解，也可能无解4．设?1,?2,?3,?均为n维向量，又?1,?2,?线性相关，?2,?3,?线性无关，则下列正确的是（ ）
A．?1,?2,?3线性相关B．?1,?2,?3线性无关C．?1可由?2,?3,?线性表示D．?可由?1,?2线性
表示5．设?0是可逆矩阵A的一个特征值，则（ ）A．?0可以是任意一个数 B．?0?0C．?0?0
0b0a0D．?0?0二、填空题6．
a0b0ba0123?______________7．三阶行列式D?20ba022，则
451A11?A12?|A13?__________8．设A，B均为n阶矩阵，(AB)?E，则(BA)=__________9．设A
22为n阶方阵，且A?2，A*为A的伴随矩阵，则A*?A?1=_________10．单个向量?线性相关的充要条件是__________11．设向量组?1,?2,?,?m的秩为r，则向量组?1,?1??2,?,?1??2????m?1023???的秩为_________12．设矩阵A??t1?12?的秩为2，则t=___________13．设AX?0为一个4元齐
?0138????110???次线性方程组，若?1,?2,?3为它的一个基础解系，则秩（A）=_________14．设A??101?，则A的
?011???T特征值为_________15．设3元实二次型f(x1,x2,x3)?XAX经正交变换化成的标准形为f?3y1，
2共3页第46页
大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
a100b1则矩阵A的特征值为_________三、计算题16．计算4阶行列式D?00a2b20b3b317．设A????10??，
0???12?b400a4又f(x)?x2?3x?2，求f(A)18．设向量组?1?(1,?1,0)，?3?(1,5,1)，?2?(2,4,1)，?4?(0,0,1)，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。19．设?,?,r是三个同维向量，若?,?线性无关，?,r线性无关，?,r也线性无关，问?,?,r是否一定线性无关？如果不一定，请举例说明。20．试判定二次型
?11?1????2x1x3?4x2x3的正定性。21．设A??011?，求矩阵B，使
?00?1???f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3222TT2A?AB?E22．当A为2阶方阵，且满足A?i?i?i,(i?1,2)其中?1?(3,2),?2?(4,3)，求矩
?x1?x2?x3?1?阵A23．当a为何值时，方程组?2x1?3x2?x3?4有无穷多解？此时，求方程组的通解。四、证明题
??x?ax3?11?24．设A，B均为正交矩阵，且A??B，试证A?B?025．设n阶非零矩阵A适合A2?0，试证明A不可能相似于对角阵
《线性代数》（经管类）模拟试题答案
一、单项选择题1、C2、D3、D4、C5、C二、填空题6、?(a?b)7、08、E9、r。12、－213、114、2，1，-115、3，0，0
a2b2000a400b1a2?a3)b2?b3(b1b4?a?()a1a4?bb1bb4)(a2a3?b2b3)122223n210、??011、
16、解
三、计算题
D?a1b3a30?b4a2b20?a1a(4b3a307、解 f(A)?A?3A?2E2
?12??12??12??10??????????3?2??10???10???10??01??
??????????1????1?2??36??2?????30??????2?????00???2?4??????2?2?0???18、解：令
?1210??1210??1210???????A???1450???0660???0111?所以向量组的秩为3，是线性相关的。19、解：
?0111??0111??000?1????????,?,r不一定线性无关。例如：设??(1,0,0),??(0,1,0),r?(1,1,0)则?与?，?与r，?与r均线
共3页第47页
大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
?101???性无关。而?,?,r却线性相关。20、解：f的矩阵为A??022?则A的三个主子式为?1?1?0，
?121???101?2?0?3?0?2?100222??4?0所以f是非正定二次型21、解：由AB?A2?E，又A为
121?11?1100??1001?1?2??????12?1(A,E)?011010?010011可逆矩阵则B?A(A?E)?A?A而????则
?00?1001??00100?1??????1?1?2??11?1??1?1?2??021???????????011?故B??011???011???000?22、解 由A?i?i?i，可知i?1,2?00?1??00?1??00?1??000?????????A?1?34??3?4??1就是二阶方阵A的两个特征值，故A可以相似对角化。令p?(?1,?2)???23??，P???23?则
?????1AP???00??34??10??3?4???712??1??B则A?PBP??????????23、解：方程组的增广矩2?2302?23?610????????有P?12?1??1111??10????A?2314?01?12阵????当a?2?0，即a??2时，秩(A)?秩(A)?2?3方程组有
??10a1??00a?20??????x1?无穷多解此时，方程组的全部解为?x2?x?3???1???????2????0????T??2???k?1?（k为任意常数）四、证明题24、证：由已知?1???T可知
T
T AA?BTT?ET BB?EAA?B?AA?AB?E?AB?BB?AB
TTTTT?B?A?B?AB?A?BB再由A??B，又正交阵的行列式为?1不妨设A?1，则
2B??1则 A?B??A?B，故A?B?025、证 由于A适合A?0，故A的n个特征值全为0，
?1假如A能相似于对角阵，则这个对角阵为零矩阵，即 P所以A不能相似对角化。
AP?0，从而A?0，与A为非零阵矛盾，
共3页第48页
线性代数考试试卷+答案超强合集
