大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，
1?352??x1?x2?x3?0?x?0，则??__________。2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只
?x?x?x?0?223?11共10分）1. 若0?1有零解，则?应满足 。 3．已知矩阵A，B，C?(cij)s?n，满足AC?CB，则A与B分?a11?A?别是 阶矩阵。4．矩阵?a21?a?31A?3A?E?0，则A2a12??a22?的行向量组线性 。5．n阶方阵A满足a32??，错误的在括号内? 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”
填“×”。每小题2分，共10分）1. 若行列式D中每个元素都大于零，则D?0。（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组a1，a2，?，am中，如果a1与am对应分?0?1?，as线性相关。量成比例，则向量组a1，a2，（ ）4. A???0??0100000010??0?，则A?1?A。（ ）5. 若?1?0??1?为可逆矩阵A的特征值，则A?1的特征值为?。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，
将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A为n阶矩阵，且A?2，则AAT?（ ）。
?，?s（3 ? s ? n）线性① 2n② 2n?1 ③ 2n?1 ④ 42. n维向量组 ?1，?2，?，?s中任意两个向量都线性无关② ?1，?2，?，?s中存无关的充要条件是（ ）。① ?1，?2，?，?s中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ 在一个向量不能用其余向量线性表示③ ?1，?2，?1，?2，?，?s中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。① 任意n个n?1维向量线性相关②
任意n个n?1维向量线性无关③ 任意n?1个n 维向量线性相关④ 任意n?1个n 维向量线性无关4. 设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。① 若A，B均可逆，则A?B可逆
② 若A，B均可逆，则 AB 可逆③ 若A?B可逆，则 A?B可逆
④ 若
A?B可逆，则 A，B均可逆5. 若?1，?2，?3，?4是线性方程组A??0的基础解系，则
?1??2??3??4是A??0的（ ）① 解向量 ② 基础解系
③ 通解 ④ A
共3页第1页
大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
x?abx?bbbccx?ccdddx?d的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分)1. 计算行列式
aaa。
解· x?aaaabx?bbbccx?cc1?(x?a?b?c?d)111dddx?dbx?bbb?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?d?(x?a?b?c?d)bx?bbbccx?ccdddx?d1000bx00c0x0d00x?(x?a?b?c?d)x32. 设AB?A?2B，且A?3???1?0?0111??0?,4?? 求B。解.(A?2E)B?A
(A?2E)?1?2??2????13120?1?21?1??5???1?1，B?(A?2E)A?4???1????2?2?32?1?2??0??23. 设B????0?03????11000?1100??0?, ?1?1???2?0C???0?0?12004??3?且矩阵?满足关系式X(C?B)'?E, 求?。4. 问a取何值时，下列向量组线性1?2????1???2???,??a?2??1?????2??1????2????x1?x2?x3???3?????1??,?3????。5. ?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2有唯
2?x?x??x??2???23?1a??????????a?1相关？?1????2?1???2一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。① 当??1且???2时，方程组有唯一??2???1???1???????解；②当???2时方程组无解③当??1时，有无穷多组解，通解为??0?c11?c206. 设
??????????0???0???1???1??2??1??3??????????4??9??0??10??1???, ?2??, ??, ??. 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用34?????1?1?3?7?????????0???3???1???7?????????共3页第2页
大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
?1?该极大无关组线性表示。7. 设A?0??0?0120??0，求A的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)?1??若A是n阶方阵，且AA??I，A??1， 证明 A?I?0。其中I为单位矩阵。×××大学线性
代数期末考试题答案
一、填空题 1. 5 5. A?3E
二、判断正误 1. × 三、单项选择题 1. ③ 四、计算题 1. x?aaaabx?bbbccx?cc1?(x?a?b?c?d)111dddx?dbx?bbb?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?d?(x?a?b?c?d)bx?bbbccx?ccdddx?d1000bx00c0x0d00x?(x?a?b?c?d)x32. ??1 3. s?s，n?n 4. 相关
2. √ 2. ③
3. √ 3. ③
4. √ 5. ×
4. ② 5. ①
2.(A?2E)B?A (A?2E)?1?2??2????1?1?21?1??5???1?1，B?(A?2E)A?4???1????2?2?32?2???2 ?3??
?1?0?C?B??0??0210032104??1??32'?，?(C?B)??32???1??401?21001?2012300120??0?0??1??1??2???1??001?21001?20??0?0??1?3.
??C?B??'?1?1??2???1??00??0?，X?E?C?B?'0??1? 4.
???1共3页第3页
大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
aa1，a2，a3???1212?12??1212?18(2a?1)(2a?2)当a??2a?1212或a?1时，向量组a1，a2，a3线性相
a关。5.① 当??1且???2时，方程组有唯一解；②当???2时方程组无解③当??1时，有无穷多??2???1???1???????组解，通解为??0?c11?c206.
??????????0???0???1???1?4(a1，a2，a3，a4)???1??0?1?0???0??001000010?2??2?1??0?29?1?310?3?13??1??100????0?7????7??021?3?31?4?4?13??1???20????0?10????7??021001?4?16?133???2??16???13?则
r?a1，a2，a3，a4??3，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a4??2a1?2a2?a37.
??1?E?A?00?0??1E?A?0???000?2000?(??1)?0特征值?1??2??3?1，对于λ
3??1?21＝1，
??10??1??0??????0，特征向量为k0?l0 ???????0???0???1????A?I?A?AA??AI?A????I?A????I?A?五、证明题∴
2?I?A??0a13c1?a2a3，
a1a2b2c2a3c3∵?I?A??0一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.如果b1c1b3?m，则2b1?2b22b3?3c23c3
=( ).A.6m； B.?6m；
3333C.23m； D.?23m。2. 设A、B是m?n矩阵，则( )成立.A.R(A?B)?R(A)； B. R(A?B)?R(B)；
C.R(A?B)?R(A)?R(B)； D. R(A?B)?R(A)?R(B)。3. 设A是s?n矩阵，则齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是( ).
A.A的行向量组线性无关 B. A的列向量组线性无关
C.A的行向量组线性相关 D. A的列向量组线性相关4. 设
共3页第4页
大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
?a?b???13a?b5??2???2???1345?则a,b分别等于（ ）．A. 1,2 B. 1,3 C. 3,1 ?，2?D. 6,2 5. 若x1是方程AX?B的解，x2是方程AX?O的解，则（ ）是方程AX?B的解（c为任意常数）.A.x1?cx2 B. cx1?cx2 C. cx1?cx2 D.
cx1?x2二.填空题（每小题3分，共15分）1.设A,B均为n阶方阵，且A?a,B?b，则
(2A)BT?1= .2. ??0T1??1??1= .3. 若对任意的3维
?x1?x2?列向量x?(x1,x2,x3),Ax???，则A= ．4．设
2x?x3??1?1???4?????a?0,b?2,c与a正交，且b??a?c则?= ，c= ．5. 设向量组
??????2??3??????1?(1,0,0),?2?(?1,3,0),?3?(1,2,?1)线性 关.
TTT21?12042361三.计算行列式（10分）135?1??3??4??5?????????114?12?,a???,a???,a???. 四.（10分）设a1??234??1???1???2???3?2????????2?2231?????????1?求向量组a1,a2,a3,a4的秩和一个最大无关组.五（.10分）已知矩阵满足XA?B，其中A??2?0??1B???0213610??1，?1??0?2求X.六.（8分）设方阵A满足A?A?2E?0,证明A可逆，并求A的逆矩阵.七.(8?，3?分）已知向量组a1,a2,a3线性无关，b1?2a1?a2，b2?3a2?a3，b3?a1?4a3，证明向量组b1,b2,b3??1?线性无关.八.（12分）求矩阵A??4??1?1300??0的特征值和对应于特征值的所有特征向量。九.（12分）?2????x1??x2?2x3?1??取何值时，下列非齐次线性方程组?x1?x2??x3?2(1)无解，（2）有唯一解，（3）有无穷多解？
??5x?5x?4x??1123?共3页第5页
线性代数考试试卷+答案超强合集
