专题限时集训(二) 解三角形问题
(对应学生用书第83页)
(限时：40分钟)
题型1 利用正、余弦定理解三角形 题型2 与三角形有关的最值、范围问题 一、选择题 1．(2017·湖南长郡中学六模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于( ) A．2 C.2
B．3 D．3
1,2,3,4,5,6,9,10,11,13 7,8,12,14 abA [由2bsin 2A＝asin B，得4bsin A·cos A＝asin B，由正弦定理得4sin B·sin A·cos
A＝sin A·sin B，
1222222
∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A＝，由余弦定理得a＝b＋4b－b，∴a＝4b，
4∴＝2.故选A.]
22
2．(2017·合肥一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A3
＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
【导学号：07804015】
A．4π C．9π
B．8π D．36π
ab221cC [c＝bcos A＋acos B＝2，由cos C＝得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝
33sin C6，即R＝3，所以△ABC的外接圆面积为πR＝9π，故选C.] 2π
3．(2017·长沙一模)△ABC中，C＝，AB＝3，则△ABC的周长为( )
3
2
?π?A．6sin?A＋?＋3
3???π?C．23sin?A＋?＋3 3??
?π?B．6sin?A＋?＋3
6???π?D．23sin?A＋?＋3 6??
3
C [设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝＝23，于是BC＝2Rsin A＝23sin A，
2πsin
3
??????AC＝2Rsin B＝23sin?－A?，于是△ABC的周长为23?sin A＋sin?－A??＋3＝2333
?
?
?
?
??
ππ
?π?sin?A＋?＋3.选C.]
3??
π
4．(2016·河北武邑中学期中)在△ABC中，c＝3，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为( )
6
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D [根据余弦定理有1＝a＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.]
π
5．(2016·海口调研)如图2-3，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，
3
2
E为垂足．若DE＝22，则cos A＝( )
图2-3
A.22
36 4
B．
2 46 3
C.D．
DE22
C [∵DE＝22，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得
sin Asin ABD4222426＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故选C.]
sin∠BDCsin Csin 2Asin A433sin A6．(2016·湖南十三校3月联考)在△ABC中，①若B＝60°，a＝10，b＝7，则该三角形有且仅
有两解；②若三角形的三边的比是3∶5∶7，则此三角形的最大角为120°；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是5＜x＜13.其中正确命题的个数是( ) A．3 C．1
B [对于①，由正弦定理得sin A＝
B．2 D．0
BCasin B53
＝＞1，所以该三角形无解，①错；对于②，b7
设三边分别为3k,5k,7k(k＞0)，最大角为θ，由余弦定理知cos θ＝3k2
＋5k－7k2×3k×5k22
1
＝－，所以θ＝120°，②对；对于③，当x≥3时，设最大
2
2
2
2
2＋3－x边所对的内角为θ，由题意及余弦定理知cos θ＝＞0，解得3≤x＜13；当0
2×2×32＋x－3
＜x＜3时，设最大边所对的内角为α，则cos α＝＞0，解得5＜x＜3，所以5
4x＜x＜13，③对．故选B.]
7．(2017·合肥二模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin
2
2
2
A＋sin B)＝(c－b)sin C．若a＝3，则b2＋c2的取值范围是( )
A．(3,6] C．(5,6]
B．(3,5) D．[5,6]
2
2
2
b2＋c2－a2
C [由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b＋c－a＝bc，cos A＝
2bc1πbc3?π?2222＝，又A∈?0，?，∴A＝.∵＝＝＝2，∴b＋c＝4(sinB＋sinC)
2?23sin Bsin Cπ?
sin
3
?1－cos 2B1－cos[2A＋B]?22
?＝3sin 2B－cos 2B＋4＝＋＝4[sinB＋sin(A＋B)]＝4?
22??
π??2sin?2B－?＋4.
6??
π?π5π??ππ?∵△ABC是锐角三角形，∴B∈?，?，即2B－∈?，?，
6?6?6?62?π?1?∴＜sin?2B－?≤1，
6?2?∴5＜b＋c≤6.故选C.]
8．(2017·南昌十校二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A－sin B＝
2
2
csin A－sin C，b＝3，则△ABC的面积的最大值为( )
a＋b33A．
433C．
2
A [根据正弦定理由sin A－sin B＝
2
2
2
2
B．
3 43 2
D．
csin A－sin Cca－c2
可得a－b＝，得a－
a＋ba＋ba2＋c2－b21π
b＝c(a－c)，即a＋c－b＝ac，故＝＝cos B，∵B∈(0，π)，∴B＝.又由
2ac23b＝3，可得a2＋c2＝ac＋3，故a2＋c2＝ac＋3≥2ac，即ac≤3，当且仅当a＝c＝3时取
2018年高考数学(理)二轮练习：专题限时集训2 解三角形问题
