第一篇 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续
高等数学的主要内容是微积分,微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科。本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.
第1节 集合与函数
1．1 集合
1。1。1 集合
讨论函数离不开集合的概念。一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素。
通常用大写字母A、B、C、?表示集合，用小写字母a、b、c、?表示集合的元素．
如果a是集合A的元素，则表示为a?A,读作“a属于A”;如果a不是集合A的元素,则表示为a?A,读作“a不属于A”。
一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集;如果它不含任何元素，则称为空集，记作?.
集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“{｝”括起来表示集合．例如，有1,２,3，4，5组成的集合A，可表示成
A=｛１，２，3,4,5｝;
第二种是描述法，即设集合M所有元素x的共同特征为P,则集合M可表示为
M??x|x具有性质P?。
例如,集合A是不等式x2?x?2?0的解集，就可以表示为
A?x|x2?x?2?0.
由实数组成的集合，称为数集,初等数学中常见的数集有：
(1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N,即
??N??0,1,2,3,?,n,??；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N，即
?N???1,2,3,?,n,??；
（3)全体整数组成的集合称为整数集，记作Z，即
Z???,?n,?,?3,?2,?1,0,1,2,3,?,n,??;
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(4)全体有理数组成的集合称为有理数集,记作Q，即
?p?Q??p?Z,q?N?,且p与q互质?；
?q?（5)全体实数组成的集合称为实数集，记作R.
1.1.2 区间与邻域
在初等数学中，常见的在数集是区间.设a,b?R，且a?b,则 （１)开区间 (a,b)??x|a?x?b?；
(2)半开半闭区间 [a,b)??x|a?x?b?，(a,b]??x|a?x?b?； （3）闭区间 [a,b]??x|a?x?b?；
（４)无穷区间 [a,??)??x|x?a?， (a,??)??x|x?a?，(??,b]??x|x?b?, (??,b)??x|x?b?，(??,??)??x|x?R?．
以上四类统称为区间，其中(１）－（４)称为有限区间,（5）—(8)称为无限区间。在数轴上可以表示为（图1－1）:
（1） (2）
(３) (4）
（5) (6）
(7） （8）
图 １—１ 在微积分的概念中,有时需要考虑由某点x0附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念。
定义1 设?为某个正数,称开区间(x0??,x0??)为点x0的?邻域，简称为点x0的
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邻域，记作U(x0,?)，即
U(x0,?)??x0|x0???x?x0?????x||x?x0|???。
在此，点x0称为邻域的中心,?称为邻域的半径,图形表示为（图1-2):
图1－2
另外，点x0的邻域去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记作U(x0,?)，即
oU(x0,?)??x|0?|x?x0|???，
图形表示为（图1－3)：
o
图1-3
其中(x0??,x0)称为点x0的左邻域，(x0,x0??)称为点x0的右邻域． 1。2函数的概念
1．２.１函数的定义
定义2 设x、y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个x?D，通过对应法则则称y为是x的函数,记作y?f(x)．其中x为自变量,y为f,有唯一确定的y与之对应，
因变量,D为定义域,函数值f(x)的全体成为函数f的值域,记作Rf，即
Rf??y|y?f(x),x?D?．
函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外， 还可用“g”、“F”、“?”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号。
函数的两要素:函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素．
例1 求函数y?解
1?1?x2的定义域. x121?x2?0,解得?1?x?1. 的定义区间满足:x?0；1?x的定义区间满足：
x?1?x?0或0?x?1。
这两个函数定义区间的公共部分是
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所以，所求函数定义域为[?1,0)?(0,1]．
例2 判断下列各组函数是否相同． (1)f(x)?2lgx,g(x)?lgx； (2)f(x)?3x4?x3,g(x)?x3x?1； (３）f(x)?x,g(x)?2x2.
2解 (１）f(x)?2lgx的定义域为x?0，g(x)?lgx的定义域为x?0。两个函数定义域不同,所以f(x)和g(x)不相同。
（2)f(x)和g(x)的定义域为一切实数.f(x)?3x4?x3?x3x?1?g(x)，所以
f(x)和g(x)是相同函数．
(3)f(x)?x,g(x)?x2?x，故两者对应关系不一致，所以f(x)和g(x)不相同。
函数的表示法有表格法、图形法、解析法（公式法）三种.常用的是图形法和公式法两
种。在此不再多做说明。
函数举例：
??1,x?0?例3 函数y?sgnx??0,x?0,函数为符号函数,定义域为R，值域??1,0,1?. 如图
?1,x?0?1—4：
图1-４
例4 函数y??x?，此函数为取整函数，定义域为R， 设x为任意实数, y不超过x的最大整数,值域Z。 如图1—5:
图1－5 4 / 59
特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x通过对于法则f有确定的y值与之对应，但这个y值不总是唯一。这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数。
1．２。2 函数的性质
设函数y?f(x)，定义域为D，I?D． (１）函数的有界性
定义３ 若存在常数M?0，使得对每一个x?I,有f(x)?M，则称函数f(x)在
I上有界。
若对任意M?0，总存在x0?I，使f(x0)?M，则称函数f(x)在I上无界．如图1-６:
图1-6
例如 函数 f(x)?sinx在(??,??)上是有界的:sinx?1.函数 f(x)?
1在x(0,1)内无上界,在(1,2)内有界。
（2）函数的单调性
设函数y?f(x)在区间I上有定义， x1及x2为区间I上任意两点, 且x1?x2.如果恒有f(x1)?f(x2)， 则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)?f(x2)， 则称
f(x)在I上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1—7）.
图1—7
（3）函数的奇偶性
设函数y?f(x)的定义域D关于原点对称。如果在D上有f(?x)?f(x), 则称
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同济大学高等数学_第一章_函数极限
