取P?I
?Q(x)?JT(x)?J(x)?0?3x12??0?????2?1?1???3x1?01?3x12????21?3x?2?1?1? ??1??0则Q(x)??2??1?3x1?1?3x12?? ，根据希尔维斯特判据，有： 2?3x12?12?（3x12?1）?0，Q(x)的符号无法判断。 20?1?0，?2??1?3x12（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为V(x)?3432x1?x2?0，则 42?1?3x2x?2V(x)?3x13x?3x13x2?3x2(?x13?x2)
2??3x2?0??V(x)是负定的。x??，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数
?1?-x1?2x12x2?x ??2?-x2x?解：假设V(x)的梯度为：
?ax?ax???V??V??111122???1?
?a21x1?a22x2???V2?计算V(x)的导数为：
2???x?2xT11x2???a11x1?a12x2a21x1?a22x2??V(x)?(?V)x??x?2?
22??a11x12??a12?a21?x1x2?a22x2?2a12x12x2?2a11x13x2?选择参数，试选a11?a22?1,a12?a21?0，于是得：
?x1???V1??V2?x?x?,即1?2?0，表明上述选择的参数是允许的。则有： ?V???，显然满足旋度方程?x2?x1?x2?x1?x2?2V(x)??(1?2x1x2)x12?x2
?11xx?1?2xx?0或xx?如果，则V(x)是负定的，因此，12是x1和x2的约束条件。 121222?计算得到V(x)为：
x1(x2?0)x2(x1?x1)V(x)??0x1dx1??0x2dx2
12?(x12?x2)2V(x)是正定的，因此在1?2x1x2?0即x1x2?12范围内，xe?0是渐进稳定的。
第五章习题答案
5-1已知系统状态方程为：
?x?1?11??0????011???x???0?u ?101?????1??试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。 解：依题意有：
?1?11?A???011??0?,b??0? ?????101????1???M?A2b????011???bAb?012? rankM?3，系统能控。 ???112??系统?0?(A,b,C)的特征多项式为：
?I?A?(??1)3?(??1)?1??3?3?2?2??1
?则将系统写成能控标准I型，则有x?010??0????001?x?????0?u。 ??1?23?????1??引入状态反馈后，系统的状态方程为：x??(A?bK)x?bu，其中K为1?3矩阵，设K??k0k1?K?(A,bK,C)的特征多项式为：
f(?)?det[?I?(A?bK)]??3?(?3?k22)??(2?k1)??(1?k0) 根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
f*(?)?(??1)(??2)(??3)??3?6?2?11??6
比较f(?)与f*(?)各对应项系数，可解得：k0??5k1??9k2??9，则有：K??-5-9-9?。
5-3有系统：
k2?，则系统
??21??0????xx???1?u0?1???? y??10?x（1） 画出模拟结构图。
（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。 解（1）系统模拟结构图如下：
u+-?x2+-?x1y12题5-3 系统模拟结构图
（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统?0?(A,b,C)完全能控。 对于系统?0?(A,b,C)有： M??b?01??2，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。 rankMAb?????1?1? （3）系统?0?(A,b,C)的特征多项式为：
?I?A?(??2)(??1)??2?3??2
?01??0??则将系统写成能控标准I型，则有x???x??1?u。 ?2?3??????(A?bK)x?bu，设K??k0引入状态反馈后，系统的状态方程为：xk1?，则系统?K?(A,bK,C)的特征多
项式为：
f(?)?det[?I?(A?bK)]??2?(3?k1)??(2?k0) 根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
f*(?)?(??3)2??2?6??9
比较f(?)与f*(?)各对应项系数，可解得：k0??7k1??3，K???7?3?。
5-4设系统传递函数为
(s?1)(s?2)
(s?1)(s?2)(s?3)试问能否利用状态反馈将传递函数变成
s?1
(s?2)(s?3)若有可能，试求出状态反馈K，并画出系统结构图。
(s?1)(s?2)s2?s?2解：W(s)? ?(s?1)(s?2)(s?3)s3?2s2?5s?6由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。 能控标准I型为
?01???00x???65y???21??0??x??0?u???
??2???1??1?x01令K??k0k1k2? 为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为
f(?)?det[?I?(A?bK]? ?3?(2-k2)?2?(?5-k1)??(?6?k0 )
由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为
f*(?)?(??2)(??3)(??2)? ?3?7?2?16??12
比较f(?) 与f*(?) 的对应项系数，可得
k0??18 k1??21 k2??5
即K???18?21?5? 系统结构图如下：
11vu++---?2x3?-5x2?x1-2+++y--6-5-21-18题5-4 系统模拟结构图
5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。
??1?2?2??2??,b??0? 0?11（1） A?????????10?1???1??解：系统的能控阵为：
M???bAb?2?40??010? rankM?3，系统能控。 A2b???????11?5??由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统?0?(A,b,C)任意配置极点的充要条件是?0?(A,b,C)完全能控。又由于rankM?3，系统?0?(A,b,C)能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。
5-7设计一个前馈补偿器，使系统
?1?s?1W(s)???1??s(s?1)解耦，且解耦后的极点为?1,?1,?2,?2。 解：W(s)?W0(s)Wd(s)
1?s?2?? 1?s??Wd(s)?W0(s)-1W(s)
-1??1?s1s?2?-1??W0(s)?11-11??-s(s?1)s(s?1)(s?2)??s(s?1)s?1??
-1??1-s??s?2?ss?2?? ??-(s?2)s(s?2)??s(s?2)?1????-1s?1??s?1??s(s?1)s?1??Wd(s)?W0(s)?1W(s)?s?2???(s?2)??s?1?s?2?(s?1)2????(s?2)?(s?1)3?5-10已知系统：
?01??0????xx???1?u00???? y??10?x?1?s??2(s?1)?s(s?2)???s?1??0??s?(s?2)2??s?(s?1)(s?2)????? 1?(s?2)2??0试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r>0)。
《现代控制理论》第3版(刘豹_唐万生)课后习题答案
