1??1???C??1?1? N??????CA?2?2?????44?? rankN?2,系统能观。方法二：将系统化为约旦标准形。
?I?A???3?1?1??3????3??1?02
?1??2，?2??4?1?则状态矢量：A1P1??1P1?P1????1??1? A2P2??2P2?P2????-1?
?11??22??11?-1，T?T???1? ?1?1-1????2??2?11????-31??11??-20?T-1AT??22???1-1???0-4? 11?1-3?????????2??2?11????11??11?T-1B??22????? 11?11?00??????2??2?11??11??20? CT?????????1-1??1-1??02?T-1B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。
3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数?i和?i
1????1?(1)A??1,b?,C??1?1? ????1??0?2?解：构造能控阵：
M??b?1?1?1?Ab???? 1?2??要使系统完全能控，则?1?1??2，即?1??2?1?0 构造能观阵：
?1??C??1N?????? ?1??CA???12?要使系统完全能观，则1??2???1，即?1??2?1?0
3-4设系统的传递函数是
y(s)s?a?3 2u(s)s?10s?27s?18
（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 （3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 解：(1) 方法1 ：W(s)?y(s)s?a ?u(s)(s?1)(s?3)(s?6)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 方法2：
a-1a?3a-6y(s)s?a??10?6?15 u(s)(s?1)(s?3)(s?6)s?1s?3s?6?1??1，?2??3，?3??6
??1X???0??0?a?1y???10?0?3??1??X??1?u????0?6???1??
a?3a?6??X?615?00系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 （2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型
10??0?0??x??0? u?? ?0x01????
????18?27?10???1??y??a10? x（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II型为
?0?? ?1x???0y??00?18??a??1? u0?27?x???? ?1?10???0???...01? x 3-6已知系统的微分方程为：y?6y?11y?6y?6u 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：a0?6，a1?11，a2?6，a3?3，b0?6 系统的状态空间表达式为
?0?? ?0x????6y??600??0??0? u01?x???? ??11?6???1??0? x1传递函数为
0??s?1?W(s)?C(sI-A)-1B??600??0s?1????611s?6???1?0?6?0????s3?6s2?11s?6 ??1??其对偶系统的状态空间表达式为：
?00?6??6??? ?10?11?x??0? ux???? ???01?6???0??y??001? x传递函数为W(s)?6 32s?6s?11s?63-9已知系统的传递函数为
s2?6s?8W(s)?2
s?4s?3试求其能控标准型和能观标准型。
s2?6s?82s?5?1?2解：W(s)?2
s?4s?3s?4s?3系统的能控标准I型为
?01??0??? ?xx???1 ?u -3-4????y??52?x?u 能观标准II型为
?0-3??5??? ?xx? ?u???1-4??2? y??01?x?u 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。
10??0?0??? ??2?30?x??1? ux???? ????11?3???2??y??001? x10??0?0??，b??1?，C??001? ?2?30解：A??????????11?3???2??M?b??01?3?? AbA2b??1?27????2?511???rankM?2?3，系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。 01??C??0????1?1?3? N??CA????2??CA????1?79??rankN?3，系统为能观系统，可以变换为能观标准型。
3-11试将下列系统按能控性进行分解
?12?1??0??,b??0?,C??1?11? 010（1）A?????????0?43???1??解：
M?b??0?1?4?? rankM=2<3，系统不是完全能控的。 AbA2b??000???9??13???0???1??0??，R?Ab??0?，R??1?，其中R是任意的，只要满足R满秩。 0构造奇异变换阵Rc：R1?b??233c??????????1???3???0???0?10??301?? 得R?1???100? 001即Rc??c???????130???010???0?32??1?? b?R?1b??0? A?Rc?1ARc??14?2c?cRc??12?1? c??????1??0???00?3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解
?12?1??0??,b??0?,C??1?11? 010（1） A?????????0?43???1???12?1??0??,b??0?,C??1?11? 010解： 由已知得A?????????0?43???1???C??1?11???? 2?32则有N??CA?????2?CA??????4?74?rank N=2<3，该系统不能观
?1?11?构造非奇异变换矩阵R?110，有R?0???2?32? ?01??0???3?1?1?则R0???2?10? ?001?????010??1?x???R?10AR0x??R?10bu????230??32?x???2?u ?????7???1??y?cR0x???100?x? 3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解
?100?（1）A???223??1?,b??2?,C??112? ?201?????????2???111解：由已知得M???AAbAb2??????21226?2? ??20??? rank M=3，则系统能控
?c???112? N???cA???125? ??cA2???????741???1 rank N=3，则系统能观
所以此系统为能控并且能观系统
??317??111??44???? 取T?c2??21226，则T?1??7?1?3???c2?? ?20?2???2?5????3144????002?? 则A???10?5?1?，B?T?1c2b??0?，14????c?cTc2??7??0???0??3-14求下列传递函数阵的最小实现。 （1） w?s??1?s?1?11??11?? 解： ?1，B?11???10?0?0???11?，?Ac???0?1?? 23?13
《现代控制理论》第3版(刘豹_唐万生)课后习题答案
