二、拉格朗日中值定理
设函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)内可导 则存在??(a,b),使得
f(b)?f(a)?f?(?)
b?a或写成f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)(a???b)
有时也写成f(x0??x)?f(x0)?f?(x0???x)??x(0???1) 这里x0相当a或b都可以,?x可正可负。
几何意义:条件(1)说明曲线y?f(x)在点A(a,f(a))和点B(b,f(b))之间[包括点A和点B]是连续曲线:
条件(2)说明曲线y?f(x)[不包括点A和点B]是光滑曲线。
结论说明:曲线y?f(x) 在A,B之间[不包括点A和点B],至少有点,它的切线与割线AB是平行的。
推论1 若f(x)在(a,b)内可导,且f?(x)?0,则f(x)在(a,b)内为常数。 推论2 若f(x)和g(x)在(a,b)内可导,且f'(x)?g?(x),则在[a,b]内
f(x)?g(x)?C,其中C为一个常数。
(注:拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广,当f(a)?f(b)特殊情形,就是罗尔定理)
三、柯西中值定理
设函数f(x)和g(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上皆连续;
(2)在开区间(a,b)内皆可导;且g?(x)?0,则存在??(a,b)使得
f(b)?f(a)f?(?)?g(b)?g(a)g?(?)(a???b)
(注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g(x)?x时,柯西中值定
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理就是拉格朗日中值定理)
几何意义:考虑曲线的参数方程??x?g(t)t?[a,b]
?y?f(t)点A(g(a),f(a)),点B(g(b),f(b))曲线在上是连续曲线,除端点外是光滑曲线,那么在曲线上至少有一点,它的切线平行于割线AB. 值得注意:在数学理论上,拉格朗日中值定理最重要,有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理,柯西中值定理虽然更广,但用得不太多。在考研数学命题中,用罗尔定理最多,其次是用拉格朗日中值定理,而用柯西中值定理也是较少。
四、泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)
定理1(带皮亚诺余项的n阶泰勒公式)
设f(x)在x0处有n阶导数,则有公式
____f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)1!2!n! (x?x0)
n其中Rn(x)?o[(x?x0)](x?x0) 称为皮亚诺余项。
(limRn(x)?0)
x?x0(x?x)n0前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不同情形取适当的n,所以对常用的
a初等函数如e,sinx,cosx,ln(1?x)和(1?x)(?为实常数)等的n阶泰勒公式都要熟记。
x定理2 (带拉格朗日余项的n阶泰勒公式)
设f(x)在包含x0的区间(a,b)内有n?1阶导数,在[a,b]上有n阶连续导数,则对
x?[a,b],有公式
f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)
1!2!n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1,其中Rn(x)?(?在x0与x之间)称为拉格朗日余项。
(n?1)!上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。x0?0时,也称为麦克劳林公式。
如果limRn(x)?0,那么泰勒公式就转化为泰勒级数,这在后面无穷级数中再讨论。
n?? 35
(乙)典型例题
一、用罗尔定理的有关方法
例1 设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1. 试证:必存在??(0,3),使f?(?)?0
证:∵ f(x)在[0,3]上连续,∴ f(x)在[0,2]上连续,且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M;m?f(1)?M;m?f(2)?M,故
1m?[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知,至少存在一点c?[0,2]使得
31(c,3)f(c)?[f(0)?f(1)?f(2)]?1,因此f(c)?f(3),且f(x)在[c,3]上连续,
3内可导,由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。
例2 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?123f(x)dx?f(0)
求证:存在??(0,1)使f(?)?0
证:由积分中值定理可知,存在c?[,1],使得
'23?1232f(x)dx?f(c)(1?)
3得到 f(c)?3?123f(x)dx?f(0)
对f(x)在[0,c]上用罗尔定理,(三个条件都满足) 故存在??(0,c)?(0,1),使f?(?)?0
例3 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,对任意k?1,有f(1)?k求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??)f(?)
?1?1k0xe1?xf(x)dx,
111?x1?c证:由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?kxef(x)dx?cef(c)(?0)
0kk
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1令F(x)?xe1?xf(x),可知F(1)?f(1)
这样F(1)?f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c),对F(x)在[c,1]上用罗尔定理
(三个条件都满足)存在??(c,1)?(0,1),使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x)
1??∴ F?(?)??e1[f?(?)?(1?)f(?)]?0
?又?e1??1?0,则f?(?)?(1?)f(?)
? 在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理,否则结论只是f?(?)?0,而且条件也不满足。因此如何构造一个函数F(x),它与f(x)有关,而且满足区间上罗尔定理的三个条件,从F?(?)?0就能得到结论成立,于是用罗尔定理的有关证明命题中,如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键,下面的模型Ⅰ,就在这方面提供一些选择。
模型Ⅰ:设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,f(a)?f(b)?0则下列各结论皆成立。
(1)存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0(l为实常数)
k?1(2)存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2f(?2)?0(k为非零常数)
(3)存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0(g(x)为连续函数) 证:(1)令F(x)?ef(x),在[a,b]上用罗尔定理 ∵ F?(x)?lef(x)?ef?(x) ∴ 存在?1?(a,b)使F???1??le 消去因子el?1l?1lxlxlxf??1??el?1f???1??0
,即证.
k(2)令F(x)?exf(x),在[a,b]上用罗尔定理 F?(x)?kxk?1exf(x)?exf?(x)
kk 37
k?1?2 存在?2?(a,b)使F?(?2)?k?2ef(?2)?e?2f?(?2)?0
kk 消去因子e
k
?2
,即证。
G(x)(3)令F(x)?ef(x),其中G?(x)?g(x) f(x)?eG(x)f?(x) 由F?(?3)?0
F?(x)?g(x)e 清去因子e
G(x)G(?3),即证。
例4 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)?f(1)?0,f()?1,试证: (1)存在??(,1),使f(?)??。
(2)对任意实数?,存在??(0,?),使得f?(?)??[f(?)??]?1
证明:(1)令?(x)?f(x)?x,显然它在[0, 1]上连续,又
1212111?(1)??1?0,?()??0,根据介值定理,存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??
222(2)令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x],它在[0,?]上满足罗尔定理的条件,故存
在??(0,?),使F?(?)?0,即
e????f???????f???????1??0
从而 f?(?)??[f(?)??]?1
(注:在例4(2)的证明中,相当于模型Ⅰ中(1)的情形,其中l取为??,f(x)取为
?(x)?f(x)?x)
模型Ⅱ:设f(x),g(x)在[a,b]上皆连续,(a,b)内皆可导,且f(a)?0,g(b)?0,则存在??(a,b),使
f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0
证:令F(x)?f(x)g(x),则F(a)?F(b)?0,显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条
件,则存在??(a,b),使F?(?)?0,即证.
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高等数学讲义-- 一元函数微分学



