第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分
（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义
设函数y?f(x)在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f(x0??x)?f(x0)。如果极限
f(x0??x)?f(x0)?y?lim
?x?0?x?x?0?xlim存在，则称此极限值为函数f(x)在x0处的导数（也称微商），记作f?(x0)，或y?x?x0，
dydxx?x0，
df(x)dxx?x0等，并称函数y?f(x)在点x0处可导。如果上面的极限不存在，则
称函数y?f(x)在点x0处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则
f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)
x?x0我们也引进单侧导数概念。 右导数：f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?lim? ?x?0x?x0?xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?lim? ?x?0x?x0?x左导数：f??(x0)?lim?x?x0则有
f(x)在点x0处可导?f(x)在点x0处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义
如果函数y?f(x)在点x0处导数f?(x0)存在，则在几何上f?(x0)表示曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。 切线方程：y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)
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法线方程：y?f(x0)??1(x?x0)(f?(x0)?0) f?(x0)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S?f(t)，如果f?(t0)存在，则f?(t0)表示物体在时刻t0时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数y?f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处一定连续，反之不然，即函数
y?f(x)在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，y?f(x)?|x|，在x0?0处连
续，却不可导。
4．微分的定义
设函数y?f(x)在点x0处有增量?x时，如果函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)有下面的表达式
?y?A(x0)?x?o(?x) （?x?0）
o(?x)是?x?0时比?x高阶的无穷小，其中A(x0)为?x为无关，则称f(x)在x0处可微，
并把?y中的主要线性部分A(x0)?x称为f(x)在x0处的微分，记以dy我们定义自变量的微分dx就是?x。
5．微分的几何意义
x?x0或df(x)x?x0。
?y?f(x0??x)?f(x0)是曲线y?f(x)在点x0处相应
于自变量增量?x的纵坐标f(x0)的增量，微分dyx?x0是曲线
y?f(x)在点M0(x0,f(x0))处切线的纵坐标相应的增量（见
图）。
6．可微与可导的关系
f(x)在x0处可微?f(x)在x0处可导。
且dyx?x0?A(x0)?x?f?(x0)dx
一般地，y?f(x)则dy?f?(x)dx
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所以导数f?(x)?dy也称为微商，就是微分之商的含义。 dx
7．高阶导数的概念
如果函数y?f(x)的导数y??f?(x)在点x0处仍是可导的，则把y??f?(x)在点x0处的导数称为y?f(x)在点x0处的二阶导数，记以y??称f(x)在点x0处二阶可导。
如果y?f(x)的n?1阶导数的导数存在，称为y?f(x)的n阶导数，记以y(n)x?x0d2y，或f??(x0)，或
dx2x?x0等，也
(n)，
ydny(x)，n等，这时也称y?f(x)是n阶可导。
dx
二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则
（1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式
（3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法
（6）用参数表示函数的求导公式
（乙）典型例题
一、用导数定义求导数
例 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limx?af(x)?f(a)(x?a)g(x)?0?lim?g(a) x?ax?ax?a
二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数
?x2,x?1f(x)??
?ax?b,x?1试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导。
解：∵可导一定连续，∴f(x)在x?1处也是连续的。 由 f(1?0)?lim?f(x)?lim?x?1
x?1x?1226
f(1?0)?lim?f(x)?lim?(ax?b)?a?b
x?1x?1要使f(x)在点x?1处连续，必须有a?b?1或b?1?a
又 f(1)?limf(x)?f(1)??x?1?x?1?limx2?1x?1?x?1?lim(x?1?x?1)?2 ff(x)?f(1)??(1)?limx?x?1?limax?b?1a(x?1)?1x?1?x?1?limx?1?x?1?a 要使f(x)在点x?1处可导，必须f??(1)?f??(1)，即2?a.
故当a?2,b?1?a?1?2??1时，f(x)在点x?1处可导.
)?limx2en(x?1)例2 设f(x?ax?bn??en(x?1)?1，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)
解：∵x?1时，limn(x?1)n??e???，
x?1时，limen(x?1)n???0
?∴ f(x)??x2,x?1，??a?b?1,x?1， ?2??ax?b,x?1，由x?1处连续性，lim2a?b?1x?1?f(x)?limx?1?x?1，f(1)?2?1，可知a?b?1再由x?1处可导性，
fx2?f(1)??(1)?lim存在
x?1?x?1f(ax?b)?f(1)??(1)?limx?1?x?1存在
且f??(1)?f??(1)
根据洛必达法则f??(1)?lim2xx?1?1?2 fa??(1)?xlim?1?1?a，∴ a?2 于是b?1?a??1 27
?x2,x?1,?f(x)??1,x?1,
?2x?1,x?1,??2x,x?1, f?(x)??2,x?1,?
三、运用各种运算法则求导数或微分 例1 设f(x)可微，y?f(lnx)?e解：dy?f(lnx)de
例2 设y?xx(x?0)，求
xxf(x)，求dy
f(x)?ef(x)df(lnx)
?f?(x)ef(x)f(lnx)dx??ef(x)[f?(x)f(lnx)?1f?(lnx)ef(x)dx x1f?(lnx)]dx xdy dx解：lny?xlnx 对x求导，得
11y??(xx)?lnx?xx yx再令y1?x，lny1?xlnx，对x求导，
x1??lnx?1，∴ (xx)??xx(lnx?1) y1y1于是
例3 设y?y(x)由方程x?y所确定，求解：两边取对数，得ylnx?xlny，
对x求导，y?lnx?yxxdy?xx(lnx?1)lnx?xx?1xx （x?0） dx??dy dxyx?lny?y? xyxyy2?xynyy?(?lnx)??lny，y??2 yxx?xylnx
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高等数学讲义-- 一元函数微分学
