第2讲 三角恒等变换与解三角形
利用三角恒等变换化简、求值
[核心提炼]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan α±tan β(3)tan(α±β)＝.
1?tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α(3)tan 2α＝.
1－tan2α[典型例题]
π7π43
(1)已知cos?θ－?＋sin θ＝，则sin?θ＋?的值是( )
56?6???443443
A． B． C．－ D．－
5555(2)若sin 2α＝π3π510
，sin(β－α)＝，且α∈?，π?，β∈?π，?，则α＋β的值是( ) 5102??4??
9π
B. 45π9πD.或 44
7π
A. 45π7π
C.或 44
π43【解析】 (1)因为cos?θ－?＋sin θ＝，
56??所以
3343
cos θ＋sin θ＝， 225
4313
即3?cos θ＋sin θ?＝，
2?2?5π43
θ＋6?＝即3sin???5， π4
所以sin?θ＋?＝，
6?5?
7ππ4
所以sin?θ＋?＝－sin?θ＋?＝－.故选C.
56?6???
πππ5
(2)因为α∈?，π?，所以2α∈?，2π?，又sin 2α＝，故2α∈?，π?，α∈
5?4??2??2?
- 1 -
?π，π?，所以cos 2α＝－25.又β∈?π，3π?，故β－α∈?π，5π?，于是cos(β－α)＝－
52?4??42???2
31025
，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×105
?－310?－5×10＝2，且α＋β∈?5π，2π?，故α＋β＝7π.
1024?4??10?5
【答案】 (1)C (2)A
三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
[对点训练]
xxx
1．(2019·杭州市高三模拟)函数f(x)＝3sin cos＋4cos2 (x∈R)的最大值等于( )
222A．5 5
C．
2
9B．
2D．2
xxx
解析：选B.因为f(x)＝3sin cos ＋4cos2
2224353
sin x＋cos x?＋2 ＝sin x＋2cos x＋2＝?5?22?55
＝sin(x＋φ)＋2， 243
其中sin φ＝，cos φ＝，
559
所以函数f(x)的最大值为. 22．(2019·浙江五校联考)已知3tan ( )
4A. 32C．－
3
解析：选B.因为sin β＝3sin(2α＋β)， 所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，
- 2 -
α2
＋tan2
α2
＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝
4B．－
3D．－3
所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)·cos α＋3cos(α＋β)sin α，所以2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α，
sin（α＋β）4sin α所以tan(α＋β)＝＝－＝－2tan α，
cos（α＋β）2cos α又因为3tan＋tan2＝1，所以3tan＝1－tan2， 2222224
所以tan α＝＝，所以tan(α＋β)＝－2tan α＝－.
α33
1－tan2
2
1
3．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝，则sin 2x＝
2________，
1＋tan xπ
sin xcos?x－??4?
＝________．
2tan
ααααα1
解析：sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sin x－cos x＝，
21
即sin x＋cos x＝－，
2
1
两边平方得：sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
413
即1＋sin 2x＝，则sin 2x＝－，
44
1＋tan x
sin x
1＋
cos x
由
π
sin xcos?x－??4?
＝
2
sin x（cos x＋sin x）2
＝
2222282
＝＝＝－.
sin xcos xsin 2x33
－4
382
答案：－ －
43
利用正、余弦定理解三角形
[核心提炼]
1．正弦定理及其变形
abc
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin
sin Asin Bsin Ca
A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2R
2．余弦定理及其变形
- 3 -
高考数学二轮复习专题二三角恒等变换与解三角形
