∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
AFFP，即AF?BF?FP?FG ?FGBF易知Rt△ACF∽Rt△CBF， ∴
∴FG2?AF?BF（或由摄影定理得） ∴FC2?PF?FG 由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴(FP?PQ)2?FP?FG。
四、（共12分）
28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?bx?c与x轴交于A、B两点（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(?3，若将经过A、C两点的直线y?kx?b沿0)，
y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x??2． （1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上一点，设?ABP、?BPC的面积分别为S?ABP、S?BPC，且
S?ABP:S?BPC?2:3，求点P的坐标；
（3）设圆Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在圆Q与坐
标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
【答案】（1）解：（1）∵y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴b?3，C(0， 3)。 将A (?3，0)代入y?kx?3，得?3k?3?0。解得k?1。 ∴直线AC的函数表达式为y?x?3。 ∵抛物线的对称轴是直线x??2 ?9a?3b?c?0?a?1?b????2∴??解得?b?4
?c?3?2a???c?3∴抛物线的函数表达式为y?x2?4x?3。 （2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。
yCDPAEBOx
∵S?ABP:S?BPC?2:3，
11∴(?AP?BD):(?PC?BD)?2:3 ∴AP:PC?2:3。
22过点P作PE⊥x轴于点E， ∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，∴
PECO?APAC?2， 5∴PE?9266OC?∴?x?3，解得?
555596∴点P的坐标为(?，)
55（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在圆Q与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为(x0，y0)。
① 当⊙Q与y轴相切时，有x0?1，即x0??1。 0) 当x0??1时，得y0?(?1)2?4?(?1)?3?0，∴Q1(?1， 8) 当x0?1时，得y0?12?4?1?3?8，∴Q2(1，② 当⊙Q与x轴相切时，有y0?1，即y0??1
当y0??1时，得?1?x02?4x0?3，即x02?4x0?4?0，解得x0??2，∴Q3(?2， ?1) 1)，当y0?1时，得1?x02?4x0?3，即x02?4x0?2?0，解得x0??2?2，∴Q4(?2?2，Q5(?2?2， 1)。
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1(?1， 0)，Q2(1， 8)，Q3(?2， ?1)，Q4(?2?2， 1)，Q5(?2?2， 1)。
（Ⅱ）设点Q的坐标为(x0，y0)。
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有y0??x0。 由y0?x0，得x02?4x0?3?x0，即x02?3x0?3?0， ∵△=32?4?1???3?0 ∴此方程无解。
由y0??x0，得x02?4x0?3??x0，即x02?5x0?3?0，解得x0?∴当⊙Q的半径r?x0??5?13 2?5?135?13?时，⊙Q与两坐标轴同时相切。22
2010年成都中考数学试卷及答案
