普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。满分150分，考试时间120分钟。 考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。
3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式： 锥体体积公式V=
1Sh，其中S为底面积，h为高。 3第I卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为 A．5 B.4 C.3 D.2 2.下列函数中，与函数y=1定义域相同的函数为 3xA．y=
11nxsinx B.y= C.y=xex D. sinxxx?x2?1x?1?3.若函数f(x)??2，则f(f(10)=
x?1??xA.lg101 B.b C.1 D.0
1 =4,则sin2?= tan?1111A． B. C. D.
53424.若tan?+
5.下列命题中，假命题为
A.存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1,z2∈c，z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数 C.若x,y∈CR，且x+y＞2，则x,y至少有一个大于1 D．对于任意n∈N,Cn+.Cn…+Cn都是偶数
6．观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10= A.28 B.76 C.123 D.199
2
01n 1
|PA|2?|PB|27.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=
|PC|2A.2 B.4 C.5 D.10
8.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为
A.50,0 B.30.0 C.20,30 D.0,50
9.样本（x1,x2…，xn）的平均数为x，样本（y1，y2，…，yn）的平均数为y(x?y)。若样本（x1,x2…，xn，y1，y2，…，yn）的平均数z?ax?(1?a)y，其中0＜α＜
1，则n，m的大小关系为 2A.n＜m B.n＞m C.n=m D.不能确定
10.如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分。记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图像大致为
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
第Ⅱ卷 注：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。
二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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11.计算定积分
?1?1(x2?sinx)dx?___________。
12.设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________。
x2y213椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，
ab|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.
14下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______________.
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题共5分。 15.（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________。 15.（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。
四．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分） 已知数列{an}的前n项和Sn??（1）确定常数k，求an； （2）求数列{12n?kn(k?N?),且Sn的最大值为8. 29?2an}的前n项和Tn。 n2
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知，A?（1）求证：B?C?? ,bsin(?C)?csin(?B)?a。
444???2
（2）若a=2，求△ABC的面积。
18.（本题满分12分） 如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。
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（1）求V=0的概率；
(2)求V的分布列及数学期望。
19.（本题满分12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长； （2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
20. （本题满分13分） 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足
MA?MB?OM?(OA?O)B?2.
（1） 求曲线C的方程； （2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。
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21. （本小题满分14分） 若函数h(x)满足
（1）h(0)=1，h(1)=0；
（2）对任意a??0,1?，有h(h(a))=a； （3）在（0,1）上单调递减。
1?xpp)(???1,p?0) 则称h(x)为补函数。已知函数h(x)?(1??xp（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m??0,1?，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记p?的中介元为xn，且Sn?11(n?N?)时h(x)n?xi，若对任意的n?N?，都有Sn<
i?1n1,求?的取值范围； 2（3）当?=0，x??0,1?时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。
详细解析
一、选择题：
1.C 【解析】本题考查集合的概念及元素的个数.
容易看出x?y只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.
【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D 【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数y?1的定义域为???,0?3x?0,???,而答案中只有
y?sinx的定义域为x???,0??0,???.故选D.
【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B 【解析】本题考查分段函数的求值.
因为10?1，所以f?10??lg10?1.所以f(f(10))?f(1)?1?1?2.
2【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的
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2019-2020普通高等学校招生全国统一考试—数学（理）解析版
