满分晋级
第1讲 我会解三角形
你会么？
三角函数4级 我会解三角形你
会么
三角函数5级 三角函数公式
强化
三角函数3级 三角函数的图象性质及简单应用
知识切片
【教师备案】在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形
第1讲·目标班·教师版
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中，除了告诉我们直角外，还有5个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求出来，必须要知道至少2个要素，当然不能为2个角，换言之，解直角三角形就是知二求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之后，我们的视野不能这么小，如果给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该至少要知道几个量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三角形全等的证明（SSS，，只要给出上述条件我们就能把三角形确定，SAS，ASA，AAS）也就是全等. 那么，为什么我们知道2条边1个夹角就能求出其他要素呢？而知道两条边和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲的正余弦定理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边就可以求出角.下面我们就先来介绍正弦定理.
1.1正弦定理与其在解三角形中的应用
知识点睛
b，c表示： 在△ABC中的三个内角A，B，C的对边分别用a，1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即abc． ??sinAsinBsinC【教师备案】 正弦定理的推导由三角形中的线段关系或者由三角形的外接圆可以直接得到，且
abc???2R，其中R为△ABC的外接圆的半径．建议老师用三角形的外sinAsinBsinC接圆给学生证明，因为板块1.4中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以
不如这时给学生讲了.
利用三角形中的线段关系证明正弦定理：
ab①在Rt△ABC中（如图），有?sinA，?sinB，
ccababc??c，又因为sinC?1，所以?? 因此
sinAsinBsinAsinBsinCCD?sinA，②在锐角△ABC中（如图），作CD?AB于点D，有bCD?sinB，即CD?asinB，因此 即CD?bsinA；aAabac??bsinA?asinB，即，同理可证，因sinAsinBsinAsinCabc?? 此
sinAsinBsinCAbcCaBCbcDaB18
第1讲·目标班·教师版
③在钝角△ABC中（如图），作CD?AB，交AB的延长线于点
CbAaBDD，则
CD?sinAb，即CD?bsinA；
CD?sin?180?B??sinB，即CD?asinB，因此 aabac??bsinA?asinB，即，同理可证，因sinAsinBsinAsinCabc?? 此
sinAsinBsinC利用平面几何知识证明正弦定理：
如图所示，设O为△ABC的外接圆的圆心，连BO并延长交O于A?，连A?C，则A??A 或A??π?A，
BCaa??2R，同理可证，即∴sinA?sinA??A?B2RsinAbcabc?2R????2R ，故有sinBsinCsinAsinBsinC当△ABC是钝角三角形时，类似地得出上述结论. 利用向量知识证明正弦定理：
①当△ABC是锐角三角形时，过A点作单位向量i垂直于AB， 如图，∵AC?AB?BC,
A'AcCOB∴i?AC?i?AB?BC?i?AB?i?BC?i?BC，
??∴bcos?90?A??acos?90?B?，得bsinA?asinB，
iab? 得
sinAsinBAB②当△ABC为钝角三角形时，类似地得出上述结论
2．利用正弦定理解三角形
⑴解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其
他元素的过程叫做解三角形．
⑵利用正弦定理可解下列两类型的三角形：
①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；
【教师备案】有了正弦定理之后，我们可以简单的看出，任意的两个角与一边相当于AAS和ASA的
条件，可以确定所有的角，然后可以确定所有的边，因此，三角形也随之确定.
②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．
【教师备案】1.已知三角形的两边和一边的对角，由正弦定理可以求得另一边的对角的正弦值，但是解
三角形时，因为在(0,π)内，互补的角的正弦值相等，所以求得另一边所对的角的正弦值之后，可能对应有一个角或两个角，因此无法确定三角形的形状，这就是为什么SSA无法证明三角形全等的原因.
2.利用正弦定理证明三角形中“大边对大角”的结论：
?π?B??0，?，正弦函数①当△ABC为锐角三角形时，若a?b，则sinA?sinB，又A，?2?C在此区间内单调递增，故A?B；
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2024学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班) 高一寒假 第1讲 我会解三角形你会么 教师版 目标班
