例4 周期初始温度分布 求解热传导方程ut?uxx,(???x???,t?0)给定初始温度分布
u(x,0)?1?cos2x,(???x???)。
解
u(x,t)?1?e?4tcos2x.
初始高斯温度分布
2??u2?u?0,(???x???,??a2?x例 5求解定解问题??t?u(x,0)?e?kx2,(???x???)?t?0)，
其中常数k?0.
解
u(x,t)????12a?t??????(s)e?(x?s)24a2tds?12ae??t?????e?ks2e?(x?s)24a2tds
?12a?t???e(4ka2t?1)s2?2xs?x24a2tds?12a(4ka2t?1)(s??t?ds??x4ka2t22)?x4ka2t?14ka2t?14a2t??ds
?e?ek?x224kat?112a1?t?????e(4ka2t?1)x?(s?)2224at4kat?1?kx224kat?11(4kat?1)4a2t22a?t??14kat?12e?kx224kat?1 .
§3初边值问题
设长度为l,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布
u(x,t)满足以下初边值问题
?ut?a2uxx?f(x,t),0?x?l,0?t?T?0?x?l, ?u(x,0)??(x),?u(0,t)?g(t),u(l,t)?g(t),0?t?T12?对于这样的问题,可以用分离变量法来求解.
将边值齐次化
1
令U(x,t)?g1(t)?再作变换
x?g2(t)?g1(t)? lV?u?U
引入新的未知函数,易知它满足
?Vt?a2Vxx?f(x,t)?Ut,0?x?l,0?t?T??V(x,0)??(x)?U(x,0),0?x?l,??V(0,t)?0,V(l,t)?0,0?t?T我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形
??ut?a2uxx?0,0?x?l,t?0?u(x,0)??(x),0?x?l,??u(0,t)?u(l,t)?0,t?0解 设u(x,t)?X(x)T(t),代入方程
T?(t)X(x)?a2X??(x)T(t),
T?(t)X??(x)a2T(t)?X(x),
这等式只有在两边均等于常数时才成立. 令此常数为??,则有
T???a2T?0, X????X?0, 先考虑（3.5）,根据边界条件(3.3),X(x)应当满足边界条件
X(0)?0,X(l)?0 情形A：
当??0时,方程（3.5）的通解可以写成
X(x)?C??x1e?C??x2e?,
要使它满足边界条件（3.6）,就必须
C1?C2?0,
C??l1e?C???l2e?0,
由于
11??le??le???l?e??e??l?0,
只能C1?C2?0,故在??0的情况得不到非平凡解. 情形B：
当??0时,方程（3.5）的通解可以写成
2
(3.1)(3.2) (3.3) （3.4） （3.5） （3.6）
X(x)?C1?C2x,
要满足边界条件（3.6）,C1?0,C1?lC2?0,即C1?C2?0.
X(x)也只能恒等于零.
情形C：
当??0时,方程（3.5）的通解具有如下形式：
X(x)?C1cos?x?C2sin?x,
由边界条件X(0)?0,知C1?0,再由X(l)?C2sin?l,可知,为了使C2?0,就必须
sin?l?0,
于是
?l?k?,(k?1,2,?)
k2?2 ???k?2,(k?1,2,?) （3.7）
l这样就找到了一族非零解
Xk(x)?Cksin称Xk(x)?Cksink?x,(k?1,2,?) （3.8） lk?x为常微分方程边值问题 l??X??(x)??X(x),0?x?l ?X(0)?X(l)?0?的固有函数（特征函数）.
k2?2而??l2k2?2T??aT?0, 2l2称为相应的固有值（或特征值）.将固有值?k代入方程（3.4）中,
可得
Tk(t)?Bke?a2k2?2l2t （3.9）
于是得到一列可分离变量的特解
uk(x,t)?Ake?a2k2?2l2tsink?x,(k?1,2,?) （3.10） l2由于方程（3.1）及边界条件（3.3）都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解
u(x,t)??uk(x,t)??Ake?ak?1k?1???ktsin?kx, （3.11）
3
k2?2其中?k?2.
l由（3.2）,为使在t?0时,u(x,t)取到初值?(x),应成立
?(x)?u(x,0)??Aksin?kx
k?1? （3.12）
???Ak?ksink?1lx,得出Alk?2l?0?(?)sink?l?d?. 得到问题（3.1）－（3.3）的解
?u(x,t)??A?a2?ktkesin?kx,
k?1其中?k2?2lA2lk?k?2,k?l?0?(?)sinl?d?.
定理 若??C1[0,l],?(0)??(l)?0,则
? u(x,t)??A?a2?ktkesin?kx, k?1?u2t?auxx?0,0?(3.1)是 ?x?l,t?0?u(x,0)??(x),0?x?l,(3.2)??u(0,t)?u(l,t)?0,t?0(3.3)的古典解（经典解）.
证明 由??C[0,l],得?在[0,l]上可积.
|A2lk|?|l?0?(?)sink?l?d?| ?2ll?0|?(?)|d??M 对任意??0,当t??时,成立
?m?n?tm?xn(Ake?a2?ktsin?(m?nkx)?M1?k2)e?a2?k?,（任意整数m,n?0） ?又对任意p?0,而级数
??pe?a2?k?k收敛,
k?1?所以??m?n(A?a2?tmnkeksin?kx)在0?x?l,t??上一致收敛.
k?1?t?x 4
3.13） （3.14） （
??m?n?m?n?a2?t于是mnu(x,t)??mn(Akeksin?kx)，
?t?xk?1?t?x即级数u(x,t)??Ake?a?ktsin?kx,当0?x?l,t??时,关于x及t具有任意阶的连续偏
k?1?2导数,并且求偏导与求和可以交换.
由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数u(x,t)在t??时,确实满足方程及边界条件.再由??0的任意性,得u(x,t)在t?0时满足方程及边界条件, 且u(x,t)?C([0,l]?(0,??)).
再证limu(x,t)??(x0),(0?x0?l)
x?x0t?0??由条件??C[0,l],?(0)??(l),
1|Ak|?Ake2lk?l2lk?l|??(x)sinxdx|?|???(x)cosxdx|?|ak| l0lk?l0lk?sin?kx?C??a2?kt11?12?ak?C?2??ak??, k2?k?2由Bessel不等式,知
??ak?k?1?2l2??(x)dx, ???0l?从而得到
?ek?1??a2?ktAksin?kx在t?0,0?x?l上一致收敛, ?Aksin?kx在0?x?l上
k?1一致收敛于?(x),
从而得u(x,t)在t?0,0?x?l上连续. 于是limu(x,t)?x?x0t?0??limex?x0k?1t?0???a2?ktAksin?kx??Aksin?kx0??(x0),(0?x0?l).
k?1?
3.1初边值问题解的渐近性态
定理 假设初始函数?(x)满足??C[0,l],?(0)??(l)?0,则当t
趋于无穷大时,问题（3.1）－（3.3）的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当t???时,对一切x?[0,l],
1|u(x,t)|?Ce?a?1t?0,
5
2
3热传导方程的初边值问题
