2006年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准
说 明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分,5分为一个档次,不要再增加其他中间档次.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
→→→1.已知△ABC,若对任意t∈R,BA-tBC≥AC,则△ABC一定为
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.答案不确定 答C.
→→→解:令∠ABC=α,过A作AD⊥BC于D,由BA-tBC≥AC,推出
|||||
|||
||
→→BA· BC→2→→2→2→2
BA-2tBA· BC+tBC≥AC,令t=,代入上式,得
→2 BC
||||
2
||
→→→→→|→BA|-2|BA|cosα+|BA|cosα≥|AC|,即 |BA|sinα≥|AC|,
2
2
22
22
2
2
π→→→→也即BAsinα≥AC.从而有AD≥AC.由此可得∠ACB=.
22.设logx(2x2+x-1)>logx2-1,则x的取值范围为
11
A.<x<1 B.x>且x≠1 C. x>1 D. 0<x<1
22答B.
?x>0,x≠11解:因为?2,解得x>且x≠1.由logx(2x2+x-1)>logx2-1,
2?2x+x-1>0
||
||||||
? logx(2x3+x2-x)>logx2
?0<x<1,?x>1, ?32或?32.解得0<x<1或x>1. ?2x+x-x<2?2x+x-x>2
1
所以x的取值范围为x>且x≠1.
2
3.已知集合A={x|5x-a≤0},B={x|6x-b>0},a,b∈N,且A∩B∩N={2,3,4},则整数对(a,b)的个数为
A.20 B.25 C.30 D.42 答C.
解:5x-a≤0
a
x≤;6x-b>05
b
x>.要使A∩B∩N={2,3,4},则 6
?1≤6<2,?6≤b<12,
所以数对(a,b)共有C1C1=30个. ?a,即??20≤a<25.
4≤<5?5
6
5
b
π
4.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的
2中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为
111
A.[,1) B.[,2) C.[1,2) D.[,2)
555答A.
解:建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,则F(t1,0,0)(0111→1→<t1<1),E(0,1,),G(,0,1),D(0,t2,0)(0<t2<1).所以EF=(t1,-1,-),GD=(-,22221→t2,-1).因为GD⊥EF,所以t1+2t2=1,由此推出0<t2<.又DF=(t1,-t2,0),
2
|→DF|=
22
t21+t2=5t2-4t2+1=
2211→5(t2-)+,从而有≤DF<1.
555
||
5.设f(x)=x3+log2(x+x2+1),则对任意实数a,b,a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答A.
解:显然f(x)=x3+log2(x+x2+1)为奇函数,且单调递增.于是
若a+b≥0,则a≥-b,有f(a)≥f(-b),即f(a)≥-f(b),从而有f(a)+f(b)≥0. 反之,若f(a)+f(b)≥0,则f(a)≥-f(b)=f(-b),推出a≥-b,即a+b≥0. -6.数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数2a1a2…a2006的个数为
11
A.(102006+82006) B.(102006-82006) C.102006+82006 D.102006-82006
22答B.
2005 2003
解:出现奇数个9的十进制数个数有A=C1 +C3 +…+C2005200692006920069.又由于 (9+1)从而得
120061 20053 2003
A=C20069+C20069+…+C2005-82006). 20069=2(102006
=ΣC20069
k=0
2006
k 2006-k
以及(9-1)
2006
k2006k
=ΣCk 2006(-1)9
-
2006k=0
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7. 设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则f(x)的值域是 .
9
填[0,].
8
11
解:f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x=1-sin2x- sin22x.令t=sin2x,则
22
11911max g(t)=g(-1)=9. f(x)=g(t)=1-t-t2=-(t+)2.因此-ming(t)=g(1)=0,1≤t≤1-1≤t≤12282228
9
故,f(x)∈[0,].
8
8. 若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数a的取值范围为 .
填[-
55
,]. 55
(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2≤4
2a(cosθ-2sinθ)≤3-5a2. 5
)对任意实数θ成立. 5
解:依题意,得|z|≤2
?-25asin(θ-φ)≤3-5a2(φ=arcsin25|a|≤3-5a2
|a|≤
555,故 a的取值范围为[-,]. 555
x2y2
9.已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1与F2,点P在直线l:x-3y+8+23=0上. 当∠F1PF2
164|PF1|
取最大值时,比的值为 .
|PF2|
填3-1..
解:由平面几何知,要使∠F1PF2最大,则过F1,F2,P三点的圆必定和直线l相切于点P.直线l交x轴于A(-8-23,0),则∠APF1=∠AF2P,即?APF1∽?AF2P,即
又由圆幂定理,
|AP|2=|AF1|·|AF2| ⑵
而F1(-23,0),F2(23,0),A(-8-23,0),从而有|AF1|=8,|AF2|=8+43. |PF1|
代入⑴,⑵得,=
|PF2|
|AF1|
=|AF2|
8
=4-23=3-1.
8+43
|PF1||AP|
= ⑴ |PF2||AF2|
1
10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层
2
两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm3. 12
填(+)π. 32
解:设四个实心铁球的球心为O1,O2,O3,O4,其中O1,O2为下层两球的球心,A,B,C,D分别为四个球心在底面的射影.则ABCD是一个边长为水π(1+
24112
)-4×π()3=(+)π. 23232
22
的正方形。所以注水高为1+.故应注22
11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 .
填1.
解:(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005
(x+
x
1242004
)=2006 2005)(1+x+x+…+x
x+x3+x5+…+x2005+
x
2005+2003+2001+…+111
xx
1
=2006,故x>0,否则左边<0. x
111
2006=x++x3+3+…+x2005+2005≥2×1003=2006.
xxx
等号当且仅当x=1时成立.
所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1.
12. 袋内有8个白球和2个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回1个白球,则第4次恰好取完
所有红球的概率为 . 填0.0434.
解:第4次恰好取完所有红球的概率为
2918291821
×()2×+×××+()2××=0.0434. 10101010101010101010
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13. 给定整数n≥2,设M0(x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点. 试证明对于任意正整
2m
数m,必存在整数k≥2,使(xm0,y0)为抛物线y=kx-1与直线y=x的一个交点.
n±n2-41证明:因为y=nx-1与y=x的交点为x0=y0=.显然有x0+=n≥2.…(5分)
2x0
2
12mm
若(xm,y)为抛物线y=kx-1与直线y=x的一个交点,则k=x+.………(10分) 000xm01记km=xm+, 0xm0
112由于k1=n是整数,k2=x2+=(x+)-2=n2-2也是整数, 200x0x0
1
且 km+1=km(x0+)-km-1=nkm-km-1,(m≥2) (13.1)
x01
所以根据数学归纳法,通过(13.1)式可证明对于一切正整数m,km=xm+是正整数,且km≥20xm0
1现在对于任意正整数m,取k=xm+满足k≥2,且使得y2=kx-1与y=x的交点为(xm,ym……m,000).x0(20分)
14.将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S=
1≤i<j≤5
Σ
xixj.问:
⑴ 当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最大值;
⑵ 进一步地,对任意1≤i,j≤5有|xi-xj|≤2,当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最小值. 说明理由.
解:(1) 首先这样的S的值是有界集,故必存在最大值与最小值。 若x1+x2+x3+x4+x5=2006,且使S=
1≤i<j≤5
Σ
xixj取到最大值,则必有
|xi-xj|≤1 (1≤i,j≤5) ………(5分) (*)
事实上,假设(*)不成立,不妨假设x1-x2≥2,则令x1=x1-1,x2=x2+1,xi
4,5).有x1+x2=x1+x2,x1·x2=x1x2+x1-x2-1>x1x2.将S改写成
S=
1≤i<j≤5
=xi (i=3,
Σ
xixj=x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5
同时有 S=x1x2+(x1+x2)((x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5.于是有S-S=x1x2-x1x2>0.这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾.所以必有|xi-xj|≤1,(1≤i,j≤5).
因此当x1=402,x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值. ……………………(10分) ⑵ 当x1+x2+x3+x4+x5=2006,且|xi-xj|≤2时,只有 (I) 402, 402, 402, 400, 400; (II) 402, 402, 401, 401, 400; (III) 402, 401, 401, 401, 401;
三种情形满足要求. ……………………(15分)
而后两种情形是由第一组作xi=xi-1,xj=xj+1调整下得到的.根据上一小题的证明可知
2006年全国高中数学联赛试题及解答
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