高等数学第六版课后全部
答案
The latest revision on November 22, 2020
习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达:
(1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解 在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为
I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则
2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x=
L M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后
曲线 L 的重心坐标为 1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2
证明 划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答
dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ →0 λ →0
lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1
即得
∫L f (x, y)ds =∫L 1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2
3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1
曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案
∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n n1 λ →0 .c o i = n1 +1
为小弧段 ds 上任一点.
网 m
(1) ∫ ( x2 + y 2 )n ds , 其中 L 为圆周 x=acos t , y=asin t (0≤t≤2π); L 解
∫L (x2 + y2)n ds = ∫0 2π 0 2π 2π
(a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt = ∫ (a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt 0 L
解 L 的方程为 y=1x (0≤x≤1); 1 ww w. kh d 1 1
0 课
= ∫ x 1+[(x2 )′]2 dx +∫ x 1+ ( x′)2 dx 0 1 后
∫L xdx = ∫L xdx + ∫L xdx 1 2
= ∫ x 1+ 4x 2 dx +∫ 2 xdx = 1 (5 5 + 6 2 1) . 0 0 12 x2 + y2 L (4) ∫ e
ds , 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成 的扇形的整个边界; 解 L=L1+L2+L3, 其中 L1: x=x, y=0(0≤x≤a),
L2: x=a cos t, y=a sin t (0 ≤ t ≤ π ) , 4 L3: x=x, y=x (0 ≤ x ≤ 2 a) , 2 因而 ∫L e a 0 x2 + y2 ds = ∫ e L1 x2 + y 2 ds + ∫ e L2
= ∫ e 1 + 0 dx + ∫ x 2 2 π 4 ea 0
(a sin t) + (a cos t) dt + ∫2 2 aw
x2 + y2 答
解 L1: y=x2(0≤x≤1), L2: y=x(0≤x≤1) . 案
(3) ∫ xdx , 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界; L 网
∫L (x + y)ds = ∫0 (x +1 x) 1
1+[(1 x)′]2 dx = ∫ ( x +1 x) 2dx = 2 . 0
ds + ∫ e L3
= ea (2 + π a) 2 . 4 .c o 1 x2 + y2
(2) ∫ (x + y)ds , 其中 L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;
ds , 0
2a 2 e 2x 12 +12 dx m
= ∫ a 2n+1dt = 2πa 2n+1 . (5) ∫ Γ
1 ds , 其中Γ为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从 0 变到 2 2 x + y +z 2
2 的这段弧; dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 + ( dz )2 dt dt dt dt = (et cos t et sin t)2 + (et sin t + et cos t)2 + e2t dt = 3et dt ,
2 1 1 ds = ∫ 2t ∫Γ x2 + y2 + z 2 0 e cos2 t + e2t sin 2 t + e2t 3et dt 解 Γ=AB+BC+CD, 其中
AB: x=0, y=0, z=t (0≤t≤1), CD: x=1, y=t, z=2(0≤t≤3), ww
w. kh d
故 = ∫ 0dt + ∫ 0dt + ∫ 2t 02 +12 + 02 dt = 9 . 0 0 0 1 3 3
∫Γ x2 yzds = ∫AB x2 yzds + ∫BC x2 yzds + ∫CD x2 yzds
(7) ∫ y 2ds , 其中 L 为摆线的一拱 x=a(tsin t), y=a(1cos t)(0≤t≤2π); L 解
∫L y 2ds = ∫0 2π
= 2a3 ∫ (1 cos t)2 1 cos t dt = 256 a3 . 0 15 L
(8) ∫ ( x2 + y 2 )ds , 其中 L 为曲线 x=a(cos t+t sin t), y=a(sin tt cos t)(0≤t≤2π). dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 dt = (at cos t)2 + (at sin t)2 dt = atdt dt dt 课
BC: x=t, y=0, z=2(0≤t≤3), 2π
a 2 (1 cos t)2 [a(t sin t)′]2 +[a(cos t)′]2 dt ∫L
( x2 + y 2 )ds = ∫ [a 2 (cos t + t sin t)2 + a 2 (sin t t cos t)2 ]atdt 0 后 2π 答
(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); aw 案
(6) ∫ x2 yzds , 其中Γ为折线 ABCD, 这里 A、B、C、D 依次为点(0, 0, 0)Γ 网 =∫ 2 0
3 et dt = [ 3 et ]2 = 3 (1 e 2 ) . 0 2 2 2
、 .c o m
= ∫ a3(1+ t 2 )tdt = 2π 2a3(1+ 2π 2 ) . 0 2π
4. 求半径为 a, 中心角为 2的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解 建立坐标系如图 104 所示, 由对称性可知 y = 0 , 又 L 答
(1) I z = ∫ ( x2 + y 2 )ρ (x, y, z)ds = ∫ ( x2 + y 2 )(x2 + y 2 + z 2 )ds L 2π ww w. kh d L L 0 课
= ∫ a 2 (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt = 2 πa 2 a 2 + k 2 (3a 2 + 4π 2k 2 ) . 0 3 (2) M = ∫ ρ (x, y, z)ds =∫ (x2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt
= 2 π a 2 + k 2 (3a 2 + 4π 2k 2 ) , 3 2π x= 1 M
∫L x(x2 + y 2 + z 2)ds = M ∫0
6πak 2 , 3a 2 + 4π 2k 2 1 2π y = 1 ∫ y( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ a sin t(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 = 6πak2 2 , 3a 2 + 4π k 1 2π z = 1 ∫ z( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ kt(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 2 2 3πk (a + 2π k ) , = 3a 2 + 4π 2k 2 3πk (a 2 + 2π 2k 2 ) 6 2 6 2 故重心坐标为 ( 2 πak 2 2 , 2 πak 2 2 , ). 3a + 4π k 3a + 4π k 3a 2 + 4π 2k 2 = aw 1 2π 后 案
解 ds = x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt = a 2 + k 2 dt . 网
5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为 x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中 0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x, y, z)=x2+y2+z2, 求: (1)它关于z轴的转动惯量Iz; (2)它的重心. , 0)
a cost(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt .c o
所以圆弧的重心为 ( a sin m x=
Mx a sin = 1 ∫ xds = 1 ∫ a cosθ adθ = , M 2a L 2a ww
课 后 答 案 网 w. kh d aw .c o m
习题 102 1. 设 L 为 xOy 面内直线 x=a 上的一段, 证明: 证明 设L是直线x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 则L: x=a, y=t, t从b1变到b2. 于是 ∫L P(x, y)dx = 0 .
证明 ∫ P( x, y)dx = ∫ P( x, 0)dx .
L a b
证明 L: x=x, y=0, t 从 a 变到 b, 所以 b b L
解 L: y=x2, x从 0 变到 2, 所以 ww w. kh d
56 ∫L (x2 y2)dx = ∫0 (x2 x4)dx = 15 . 2
(2) ∫ xydx , 其中L为圆周(xa)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第 L
一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=a+acos t, y=asin t , t从 0 变到π, L2: x=x, y=0, x从 0 变到 2a, 因此
∫L xydx = ∫L xydx +∫L xydx 1 2
= ∫ a(1+ cos t)a sin t(a + a cos t)′dt + ∫ 0dx 0 0 π 课 后 的一段弧; 答
(1) ∫ (x2 y 2 )dx , 其中L是抛物线y=x2上从点(0, 0)到点(2, 4) = a3(∫ sin 2 tdt + ∫ sin 2 td sin t) = π a3 . 0 0 2 π π L
(3) ∫ ydx + xdy , 其中 L 为圆周 x=Rcost, y=Rsint 上对应 t 从 0 到 π 的一段弧; 2 aw 2a 案
3. 计算下列对坐标的曲线积分: 网
∫L P(x, y)dx = ∫a P(x, 0)(x)′dx = ∫a P(x, 0)dx . .c o m
P(a, t)( da )dt =∫ P(a, t)0dt =0 . b1 dt 1 2. 设 L 为 xOy 面内 x 轴上从点(a, 0)到(b, 0)的一段直线, ∫L P(x, y)dx = ∫b b2 b2 解 ∫L
ydx + xdy = ∫ 2 [R sin t(R sin t) + R cos tR cos t]dt 0 π
= R 2 ∫ 2 cos 2tdt = 0 . 0
π (4) ∫ L
( x + y)dx (x y)dy , 其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行); x2 + y 2 解 圆周的参数方程为: x=acos t, y=asin t, t 从 0 变到 2π, 所以 ∫L Γ 后
应 θ 从 0 到 π 的一段弧; ww w. kh d
= ∫ (k 3θ 2 a 2)dθ = 1 π 3k 3 πa 2 . 0 3 π Γ
(6) ∫ xdx + ydy + (x + y 1)dz , 其中 Γ 是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的参数方程为 x=1+t, y=1+2t, z=1+3t, t 从 0 变到 1. 一段直线;
的 解 Γ 课 解
∫Γ x2dx + zdy ydz = ∫0 [(kθ )2 k + a sinθ (a sinθ ) a cosθa cosθ ]dθ 答
(5) ∫ x2dx + zdy ydz , 其中 Γ 为曲线 x=kθ, y=acosθ, z=asinθ 上对 π ∫Γ
xdx + ydy + (x + y 1)dz = ∫ [(1+ t) + 2(1+ 2t) + 3(1+ t +1+ 2t 1)]dt 0 1 0
= ∫ (6 +14t)dt = 13 .
(7) ∫ dx dy + ydz , 其中 Γ 为有向闭折线 ABCA , 这里的 A, B, C Γ
依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB+BC+CA, 其中 AB: x=x, y=1x, z=0, x 从 1 变到 0, BC: x=0, y=1z, z=z, z 从 0 变到 1, aw 1 案
2π = 12 ∫ [(a cos t + a sin t)(a sin t) (a cost a sin t)(a cost)]dt a 0 2π = 12 ∫ a2dt = 2π . a 0 .c o
( x + y)dx (x y)dy x2 + y 2 网 m
CA: x=x, y=0, z=1x, x 从 0 变到 1, 故
∫Γ dx dy + ydz = ∫AB dx dy + ydz + ∫BC dx dy + ydz + ∫CA dx dy + ydz = ∫ [1 (1 x)′]dx + ∫ [(1 z)′ + (1 z)]dt + ∫ dx = 1 . 0 0 0 2 1 1 1
到(1, 1)的一段弧. 解 L: x=x, y=x2, x从1 变到 1, 故 ∫L (x2 2xy)dx + ( y2 2xy)dy = 2∫ ( x2 4x4 )dx = 14 0 15 L 1 ww w. kh d
∫L (x + y)dx + ( y x)dy 2
= ∫ [( y 2 + y)2 y + ( y y 2 )1]dy = 34 . 1 3 (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段; 解 L: x=3y2, y=y, y 从 1 变到 2, 故 ∫L (x + y)dx + ( y x)dy 2 1
= ∫ [(3 y 2 + y) y + ( y 3 y + 2)1]dy =11
(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解 L=L1+L2, L1: x=1, y=y, y从 1 变到 2, L2: x=x, y=2, x从 1 变到 4, 故
∫L (x + y)dx + ( y x)dy
= ∫ ( x + y)dx + ( y x)dy + ∫ ( x + y)dx + ( y x)dy L1 L2 课
解 L: x=y2, y=y, y从 1 变到 2, 故 后
(1)抛物线y=x2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧;
其中 答
4. 计算 ∫ ( x + y)dx + ( y x)dy , 其中 L 是: aw 案 网
= ∫ [(x 2 2x3) + ( x 4 2x3)2x]dx 1 1 .c o m
(8) ∫ ( x2 2xy)dx + ( y 2 2xy)dy , 其中L是抛物线y=x2上从(1, 1) L
= ∫ ( y 1)dy + ∫ ( x + 2)dx =14 . 1 1 2 4
(4)沿曲线x=2t +t+1, y=t2+1 上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧.
2
解 L: x=2t2+t+1, y=t2+1, t从 0 变到 1, 故 ∫L (x + y)dx + ( y x)dy
的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时 场力所作的功. x=R cos θ, y=R sin θ, θ 从 0 变到 π , 于是场力所作的功为 2 解 已知场力为 F=(|F|, 0), 曲线 L 的参数方程为 L 后
W = ∫ F dr = ∫ | F | dx = ∫ 2 | F |(R sin θ )dθ = | F | R . L 0 ww w. kh d
则重力所作的功为 Γ Γ
沿直线移到(x2, y2, z2)时重力作的功.
解 已知F=(0, 0, mg). 设Γ为从(x1, y1, z1)到(x2, y2, z2)的直线, 课
6. 设z轴与力方向一致, 求质量为m的质点从位置(x1, y1, z1) W = ∫ F dr = ∫ 0dx + 0dy + mgdz = mg ∫ dz = mg(z2 z1) . z1
7. 把对坐标的曲线积分 ∫ P(x, y)dx + Q( x, y)dy 化成对弧长的曲线 L
积分, 其中 L 为:
(1)在 xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解 L 的方向余弦 cosα = cos β = cos π = 1 , 4 2 故
∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy L
= ∫ [P( x, y) cosα + Q( x, y) cos β ]ds L
P( x, y) + Q( x, y) ds . 2 (2)沿抛物线y=x2从点(0, 0)到(1, 1); =∫ aw π z2
答 案 .c o
= ∫ [(3t 2 + t + 2)(4t +1) + (t 2 t)2t]dt = 32 . 0 3 5. 一力场由沿横轴正方向的常力 F 所构成, 试求当一质量为 m 1 网 m
解 曲线 L 上点(x, y)处的切向量为 τ=(1, 2x), 单位切向量为 (cosα , cos β ) = eτ = ( 1 , 2x ) , 1+ 4x 2 1+ 4x 2 故
∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy
P( x, y) + 2xQ( x, y) ds . 1+ 4x2 L
(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0, 0)到(1, 1). 解 L 的方程为 y = 2x x2 , 其上任一点的切向量为 ww
w. kh d
= ∫ [P( x, y) cosα + Q( x, y) cos β ]ds L L
= ∫ [ 2x x 2 P( x, y) + (1 x)Q( x, y)]ds .
8. 设Γ为曲线x=t , y=t2, z=t3上相应于t从 0 变到 1 的曲线弧, Γ
把对坐标的曲线积分 ∫ Pdx + Qdy + Rdz 化成对弧长的曲线积分. 解 曲线点的切向量为
τ=(1, 2t, 3t2)=(1, 2x, 3y), 单位切向量为 课 故
∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy 后
(cosα , cos β ) = eτ = ( 2x x 2 , 1 x) , 答
单位切向量为
Γ 上任一(cosα , cos β , cosγ ) = eτ =
∫L Pdx + Qdy + Rdz = ∫Γ [P cosα + Q cos β + R cosγ ]ds L =∫
P + 2xQ + 3 yR ds . 1+ 4x2 + 9 y 2 aw
1 (1, 2 x, 3 y) , 1+ 2x 2 + 9 y 2 案 τ = (1, 1 x ) , 2x x2 .c o =∫ 网 m
= ∫ [P( x, y) cosα + Q( x, y) cos β ]dsL ww
课 后 答 案 网 w. kh d aw .c o m
习题 103 1. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性: (1) (2xy x2)dx + ( x + y 2 )dy , 其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围 成的区域的正向边界曲线; ∫l
∫L (2xy x2)dx + (x + y2)dy
= ∫ (2xy x 2 )dx + ( x + y 2 )dy + ∫ (2xy x 2 )dx + ( x + y 2 )dy L1 L2
= ∫ [(2x3 x2 ) + ( x + x4 )2x]dx + ∫ [(2 y3 y 4 )2 y + ( y 2 + y 2)]dy 0 1 1 0 答 而
∫∫( x y )dxdy = ∫∫(1 2x)dxdy = ∫0 dy∫y D D ww
w. kh d 所以
∫∫( x y )dxdy = ∫l Pdx + Qdy . D Q P
(2) ( x2 xy3)dx + ( y 2 2xy)dy , 其中 L 是四个顶点分别为(0, 0)、 ∫l
(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界. 解 L=L1+L2+L3+L4, ∫L (x2 xy3)dx + ( y2 2xy)dy L1 L2 L3 L4
= (∫ +∫ +∫ +∫ )( x 2 xy3)dx + ( y 2 2xy)dy
= ∫ x2dx + ∫ ( y 2 4 y)dy + ∫ ( x2 8x)dx + ∫ y 2dy 0 0 2 2 2 课
1 = ∫ ( y 2 y y 2 + y 4 )dy = 1 , 0 30 1
故 2
= ∫ 8xdx + ∫ 4 ydy = 8 , 0 0 2 2 而
∫∫( x y )dxdy = ∫∫(2 y + 3xy2)dxdy D D Q P aw 1 y 2 Q P 案
1 1 = ∫ (2x5 + 2x3 + x 2 )dx ∫ (2 y5 + 4 y 4 + 2 y 2 )dy = 1 , 0 0 30后 0
0 .c o (1 2x)dx 网 m
解 L=L1+L2, 故
= ∫ dx∫ (2 y + 3xy2 )dy = ∫ (8x 4)dx = 8 , 0 0 0 2 2 2 所以
∫∫( x y )dxdy = ∫l Pdx + Qdy . D Q P
2. 利用曲线
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