关键点在解决函数综合问题中的应用
马 建 胡仁本
【期刊名称】中学数学月刊 【年(卷),期】2015(000)008 【总页数】3
众所周知，描点作图法对学生认识函数起到了启蒙的作用．描哪些点？当然是一些对函数的图象起到关键性作用的点，这些点不仅处于关键的位置，而且还代表着函数图象伸展的方向与趋势．找准了函数的关键点，就定下了函数图象的大致形状与位置，从而也为正确认识函数的有关性质打下了良好的基础．在函数的后续学习中，函数的对称中心、函数的零点以及函数的极值点等特殊点在研究函数的综合问题中起着不可小觑的作用．利用函数图象的对称中心可事半功倍；函数的零点可将函数的图象牢牢地栓在x轴上；函数的极值点不仅可将极值点处附近或整个定义域范围内的函数图象都有效地阻挡在极值点处的函数值的上方或下方，犹如山尖或谷底，而且一般地，极值点两侧附近函数的单调性相反，这也为粗略估计函数的单调趋势提供了直观的支撑．
1 关于函数的对称中心
奇函数的图象关于原点成中心对称，它的重要性毋庸置疑，而学生如果对于一般的中心对称的函数认识不到位，则在解决某些问题时就会烦不堪言． 例1 设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=______．
解析非常明显，是奇函数，从而的对称中心为(0, 1)，所以M+m=2．
如果不从中心对称的观点去解决问题，而是按部就班地去讨论f(x)的单调性，再去求其最大值与最小值，那就要花费大气力了．
2 函数的零点
如果函数图象在其零点处穿x轴而过，就好像将函数的图象钉在了x轴上，零点两侧的函数值符号相反，一元二次不等式的解法就是以此为依据的．推广下去，高次不等式及分式不等式的解法都是如此.如果函数的图象在函数的零点处不穿过x轴，就好像将函数的图象挂在x轴上，这时函数的这个悬挂点既是零点，又是取得极值的极值点．而涉及到更复杂一点的函数，我们也应掌握上述的直观特点，见机行事．
例2 设a为常数，f(x)=(2x2-a2x+a)·ln x的最小值为零，则a=______． 解析 设g(x)=ln x，φ(x)=2x2-a2x+a，则g(x)=ln x的零点为1，故1也是f(x)的零点，从而题设条件中的f(x)的最小值为零就可转化为f(x)≥0恒成立．由于在(0, 1)上g(x)<0，在(1,+∞)上g(x)>0，从而在(0, 1)上φ(x)≤0；在(1, +∞)上φ(x)≥0，所以二次函数φ(x)=2x2-a2x+a的零点之一为1，且另一个零点必须小于或等于0．由φ(1)=0，得a=2或a=-1，检验可知a=-1符合条件.
其实通俗点说，对本例中涉及的两个函数g(x)=ln x和φ(x)=2x2-a2x+a而言，就是零点两侧的两个函数值不能为异号．如下图中，图1就是符合条件的函数的图象；图2是对应于a=2时被舍去的不符合题意的函数的图象．
同样，这里用求最值或变量分离的办法都是烦不堪言的．利用数形结合，关注零点及其两侧的函数值的情况使得解法十分简洁．
例3 已知函数f(x)=ax3+3(a-1)x2-6x，当x∈[0, 2]时，在x=0处取得最大值，则实数a的取值范围是______．
解析 f(x)=x[ax2+3(a-1)x-6]，由于f(0) =0，故问题可以转化为：
g(x)=ax2+3(a-1)x-6≤0对任意 x∈[0, 2]恒成立．① 当a≤0时，显然g(x)=ax2+3(a-1)x-6<0对任意x∈[0, 2]恒成立；② a>0时，g(x)的图象是开口向上的抛物线．由g(0)=-6<0，知g(x)的两个零点一个为负，另一个必须在2的右侧．由g(2)≤0解得综上，a的取值范围是图3是符合条件的两个函数φ(x)=x和g(x)=ax2+3(a-1)x-6的一个示意图．
本例若用求函数f(x)的最值，或变量分离的手段都是可行的，读者不妨一试．但是都不如采取本题的解法——数形结合兼顾函数的零点——来得简单易行．
例4 已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|,F(x)=f(x)-g(x)． (1)当a=2,x∈[0, 3]时，求F(x)的值域； (2)当a>2时，解关于x的不等式F(x)≥0.
解析 (1)当a=2,x∈[0, 3]时，显然1是F(x)的零点，且F(x)在[0, 3]上递增，故值域为[-3, 4]．
(2)当a>2时，是F(x)的零点之一，不难看出零点1的左侧是对称轴为开口向上、过点(1, 0)的抛物线段．故它与x轴的另一个交点是与(1, 0)关于对称的点(-a-1, 0)；同理可得，零点1右侧F(x)与x轴的另一个交点是与(1, 0)关于对称的点(a-1, 0)．这就从直观上可以看到不等式F(x)≥0的解集是(-∞,-1-a]∪{1}∪[a-1,+∞)．
当然，作为严格的解题过程还应该分两段，分别解两个一元二次不等式后，再求并集．从学生做题的过程来看，经常会丢三落四，比如有的学生在零点1两侧的不等式解完后，并集出错；有的学生将其中的{1}丢了，这都是不能从直观上先行把握的结果．直观图象如图4所示．
关键点在解决函数综合问题中的应用
