第一部分：平面向量的概念及线性运算
一.基础知识 自主学习
1．向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 ) 长度为 的向量；其方向是任意的 长度等于 的 向量 方向 或 的非零向量 的非零向量又叫做共线向量 长度 且方向 的向量 长度 且方向 的向量 定义 法则(或几何 意义) 备注 平面向量是自由向量 记作0 非零向量a的单位向量为±0与任一向量 或共线 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 运算律 a |a|加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 减法 a－b＝a＋(－b) 法则 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0. 数乘 数λ与向量a的积的运算 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二.难点正本 疑点清源
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
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三．基础自测
→→→→
1．化简OP－QP＋MS－MQ的结果等于________．
2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．
→→→→→
3．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝________(用b、c表示)．
4．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
→→→
5．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是 ( ) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
四．题型分类 深度剖析
题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题：
→→
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．
变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；
→→
(6)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等
题型二 平面向量的线性运算
→→→1→→1→→→→
例2 如图，以向量OA＝a，OB＝b为边作?OADB，BM＝BC，CN＝CD，用a、b表示OM、ON、MN.
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→2→→→
变式训练2 △ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB＝a，AC＝b，用a、b表示向
3
→→→→→→量AE、BC、DE、DN、AM、AN.
题型三 平面向量的共线问题
→→→
例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.
(1)求证：A、B、D三点共线；
→
(2)若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．
变式训练3 设两个非零向量a与b不共线，
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
五．思想与方法
5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题
→1→→1→→→
试题：如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表示向量
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→OM.
六．思想方法 感悟提高
方法与技巧
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1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．
→→→→
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB∥CD且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB∥BC，则A、B、C三点共线． 失误与防
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
七．课后练习
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
→→→→→
2．若A、B、C、D是平面任意四点，给出下列式子：AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD=BC?AD；③AC－BD＝DC+AB.其中正确的有( ) A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3. 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC?CB=0，则OC等于( )
→→
A.2OA－OB B.?OA＋2OB
1→2→21C.OA－OB D.?OA＋OB
33331→→→→
4.如图所示，在△ABC中，BD＝DC，AE＝3ED，若AB＝a，AC＝b，则BE等于( )
2
1111A.a＋b B．－a＋b 33241111C.a＋b D．－a＋b 2433
→
5. 在四边形ABCD中，AB＝a＋2b,BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 6. AB＝8，AC＝5，则BC的取值围是__________． 7．给出下列命题：
→→
①向量AB的长度与向量BA的长度与向量BA的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
→→
⑤向量AB与向量CD与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上． 其中不正确的个数为____________．
→
8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.若AB＝mAM，
→
AC＝nAN，则m＋n的值为________．
9．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
→→
10.在正六边形ABCDEF中，AB＝a，AF＝b，求AC,AD，AE.
11.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
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12.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.
→→
（1）求GA＋GB＋GO；
11→→→
(2)若PQ过△ABO的重心G,且AO＝a, OB＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：＋＝3.
mn第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示
一．基础知识 自主学习
1．两个向量的夹角
定义 →→已知两个 向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图) 围 向量夹角θ的围是 , 当θ＝ 时,两向量共线，当θ＝ 时，两向量垂直，记作a⊥b.
2.平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面的两个 向量，那么对于这一平面的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ .其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面所有向量的一组 ． (2)平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． (3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面的任一向量a都可由x，y唯一确定，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标．
→→→
②设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是 的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成立．(O是坐标原点) 3．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ， λa＝ ，|a|＝ . (2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→→
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ ，|AB|＝ .
4．平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b? .
二．难点正本 疑点清源
1．基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面任意向量a都可被这个平面的一
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高中数学-平面向量专题
