05级普招本科数学与应用数学专业常微分方程试题1参考答案及评分细则 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
?y??14y?71、对于初值问题?,如果取?0(x)?0, 则其二次皮卡近似解
y(0)?0? ?2(x)?7x?49x2。 2、f(x,y)?7(cos2x)y?17y在区域G?{(x,y)| 1?|x?7|?2,6?|y?7|?8}上关于 7 y满足李普希兹条件，其李普希兹常数最好取为N?7?156。 3、微分方程y(1?xy)dx?xdy?0有积分因子?(y)?y?2。
49x2?64y2?C2的正交轨线所满足的微分方程为y??4、曲线族LC：64y。 49x5、已知方程(1?7x)y''?49xy'?49y?0有解y1?e7x,则可由刘维尔公式求得另一 无关解y2?x。
二、判断题（10分）（本大题共5小题，每题4分，共20分）
判断下述结论的正误，正确的在括号中打钩，错误的在括号中打叉。 1、 对于微分方程y??f(3x?2y?4),可作变量替换z?3x?2y, 将其化为变量
6x?4y?5 可分离方程。 （√） 2、微分方程y?xy??7y?2的奇解为y??x2/27。 （×） 3、微分方程y????5y???13y??7y?0的通解为y?C1ex?C2xex?C3e?7x。 （√） 4、方程y????3y???52y??50y?0的通解为y?C1ex?e2x(C2cos7x?C3sin8x)。（×）
? et??e7t??43?5、如果微分方程组X?AX有基解X1??,则 ,X?A??????。 （√）??et?2?e7t?34?????? ?三、证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）
?dx?x?y??dt求证：原点为系统：?的中心 。
?dy?2x?y??dt证明：：A??E?1?? ?1 2 ?1????2?1?0， 3分
?1?i,?2??i。 5分 因为特征根为共轭纯虚根， 8分 所以，原点为中心。 10分 四、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)
1、（10分）设曲线l上任一点的法线、向径与x轴构成等腰三角形（以法线为底边），求曲线l。
解：设l:y?y(x),?P(x,y)?l，过P的法线方程为 1分 LP:Y??1(X?x)?y。 3分 y? 易知，LP与x轴交于A(x?yy?,0)。 5分 由题设，OP?OA，即x2?y2?(x?yy?)2， 7分 化简得y???x?yy?x2?y2x12?x?y2，或x?yy???x2?y2， 8分 yy??1，x2?y2??(x?C)， 9分
化简得y2??2Cx?C2 10分 2、（10分））求解微分方程yy???y?2?yy?。
1解：原方程可变形为yy???y?2?(yy?)??yy??(y2)? 4分
211积分得yy??y2?C1，即 2yy??(y2)??y2?C1， 7分
22这是以y2为未知函数的一阶线性微分方程， 8分
其通解为y2?C2ex?ex?C1e?xdx?C2ex?C1 10分 3、（10分）求解微分方程y???15y??56y?e9x?7x。
解： ?2?15??56?0,?1?7,?2?8， 2分 齐次方程的基解为 y1?e7x,y2?e8x。 4分 因为?1?9，不是特征根，m1?0，?2?0不是特征根，m2?1， 6分 所以，可设特解y*?Ae9x?Bx?C，代入原方程解得 A?12,B?18,C?15*19x115448,y?2e?8x?448， 故通解为y?C7xC11151e?2e8x?2e9x?8x?448。 分）用拉普拉斯变换求解初值问题??y???13y??42y?e8x4、（10?y(0)?0,y?(0)?0。
解： L[y???13y??42y]?s2Y?sy(0)?y?(0)?13(sY?y(0))?42Y ?(s?6)(s?7)Y?L[e8x]?1s?8， Y?1(s?6)(s?7)(s?8)， ?111112s?6?s?7?2s?8 y?L?1[Y]?112e6x?e7x?2e8x。 、（10分）求解常系数线性微分方程组??x?4x?y?e2t5?y??2x?y。
解：两式相加得
dx?dy?2(x?y)?e2tdtdt， x?y?C2t1e?e2t?(?e2t)e?2tdt?C2t1e?te2t， 二倍第一式加第二式得2dxdydt?dt?3(2x?y)?2e?2t， 2x?y?C3t2e?e3t?(?2e2t)e?3tdt?C2e3t?2e2t， 2t2故通解为???x?y?Ctet1e???2t3t2t2t??2x?y?C3t2t 或 ?x??C1e?C2e?2e?te2e?2e??y?2C2t3t2t2t。 1e?C2e?2te?2e 7分
9分 10分
2分
4分 6分
8分 10分
2分 4分 6分 8分
10分 注：若只求出齐次通解给7分。
级普招本科数学与应用数学专业常微分方程试题1参考答
