课后导练
基础达标
1.今天是星期五，九天后的那一天是星期几… （ ） A.五 B.六 C.日 D.一 解析：每个星期有7天，9÷7=1……2,故为星期日. 答案：C
2.下列函数是周期函数的是（ ） ①f(x)=x ②f(x)=2x ③f(x)=1 ④f(x)=??1,x为有理数?0,x为无理数
A.①② B.③ C.③④ D.①②③④
解析：①f(x+T)=x+T≠x,∴f(x)不是周期函数，①错误.只能从B、C中选，所以只需判断④即
?1,(x为有理数)可，f(x+T)=?是周期函数，故④正确.
0,(x为无理数)?答案：C
3.下列命题正确的是（ ） A.周期函数必有最小正周期 B.只有y=sinx才是周期函数 C.y=1的最小正周期为1
D.周期函数的定义域一定是无限集
解析：由周期函数的定义知A、B、C均错误. 答案：D
4.已知y=f(x)为最小正周期为2的函数，且f(1)=4,则f(5)等于（ ） A.3 B.2 C.1 D.4 解析：∵y=f(x)中T=2， ∴f(5)=f(2×2+1)=f(1)=4. 答案：D
5.下列四个函数为周期函数的是（ ） A.y=1 B.y=3x0 C.y=x2 D.y=x
解析：由周期函数定义知y=1是周期函数，对于y=3x0,不存在常数T，使f(0+T)=f(0). 答案：A
6.设f(x)(x∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)=-1，则f(11)的值是（ ） A.-1 B.1 C.2 D.-2 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(-1)=-f(1)=1,f(11)=f(11-3×4)=f(-1)=1. 答案：B
2???为周期的函数，且f()=1,则f(-)=_______. 3232????解析：f(-)=f(-2×)=f()=1 33237.若f(x)是以
答案：1
8.今天是星期一，158天后的那一天是星期几？ 解析:∵158=7×22+4，而今天是星期一，
∴158天后的那一天是星期五.
9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(-x)(x∈R),证明f(x)为周期函数.
证明：由f(x+2)=f［(x+1)+1］=f［-(x+1)］=-f(x+1)=-f(-x)=f(x)得，f(x)是周期函数，周期为2.
10.求证：若函数y=f(x)(x∈R)的图象关于x=a对称，且关于x=b对称，则f(x)为周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.
证明：设x是任意一个实数，
因为函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称， 故f(a+x)=f(a-x)， 同理，f(b+x)=f(b-x). 于是f［x+2(b-a)］ =f［b+(b+x-2a)］ =f［b-(b+x-2a)］
=f(2a-x)=f［a+(a-x)］=f［a-(a-x)］=f(x).
所以，f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期. 综合运用
11.定义在实数集上的偶函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当2≤x≤3时，f(x)=x,则当-1≤x≤0时，f(x)等于（ ）
A.4+x B.2+|x+1| C.-2+x D.3-|x+1|
解析：当x∈［-1,0］时，-x∈［0,1］,-x+2∈［2,3］,f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x,因为3-|x+1|=2-x， ∴f(x)=3-|x+1|. 答案：D
12.设f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，f(1)＞1,f(2)=a,则（ ） A.a＞2 B.a＜-2 C.a＞1 D.a＜-1 解析：f(2)=-f(-2)=-f(3-2)=-f(1)=a, ∴f(1)=-a＞1, ∴a＜-1. 答案：D
13.函数f(x)的最小正周期为8，且等式f(4+x)=f(4-x)对一切实数都成立，则f(x)是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶 D.非奇非偶 解析：∵T=8,且f(4+x)=f(4-x)， ∴f(x)=f(x+8)=f［4+(4+x)］ =f［4-(4+x)］=f(-x), ∴f(x)为偶函数. 答案：B
14.设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)为偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=-2(x-3)2-4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析式. 解析：令x∈［-3，-2］，则-x∈［3，2］， 从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x).即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈［-3,-2］. 令x∈［1，2］，则x-4∈［-3，-2］，
有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4，
即x∈［1，2］时，f(x)=-2(x-1)2+4.
15.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，对任意的x1,x2∈［0,f(x1+x2)=f(x1)·f(x2). （1）设f(1)=2，求f(
1］，都有211),f()； 241］知 2（2）证明f(x)是周期函数.
（1）解析：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈［0,f(x)=f(
xx)·f()≥0,x∈［0,1］, 22111111故f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］2.因此f(12)=22,
22222又f(1）=2，
1111故f()=f(+)=［f()］2=22.
24441即f()=24.
4（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得 f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).
又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)， ∴f(x+2)=f(x),即f(x)为周期函数. 拓展探究
16.函数满足f(x+2)=f(x-2)，且f(4+x)=f(4-x).若2≤x≤6时,f(x)=x2-2bx+c,f(-4)=-14,试比较f(b)与f(c)的大小.
解析：由已知f(4+x)=f（4-x）,x∈R,得x=4是函数f(x)图象的对称轴. 又∵2≤x≤6,f(x)=x2-2bx+c,
∴x=4是f(x)=x2-2bx+c,x∈［2,6］的对称轴，即?∴b=4.
又∵f(x+2)=f(x-2),
∴f(x)=f［(x+2)-2］=f［(x+2)+2］ =f(x+4).
∴f(x)是周期函数，周期为T=4. ∵f(-4)=-14, 而f(-4)=f(-4+4×2)=f(4), ∴f(4)=-14. ∵4∈［2,6］, ∴42-2×4×4+c=-14, ∴c=2.
11?2b=4, 2
数学北师大必修课后导练：周期现象与周期函数 含解析
