3.3排序不等式
一、教学目标
1．了解排序不等式的数学思想和背景．
2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点
1．了解排序不等式的数学思想和背景．
2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 四、教学难点
1．了解排序不等式的数学思想和背景．
2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 五、教学过程 （一）导入新课
某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．
【解析】 取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.
所以最少花费为19元，最多花费为25元． 【答案】 19 25 （二）讲授新课
教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念
设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，
bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和 为顺序和，和 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 称为反序和．
教材整理2 排序不等式
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则 ≤ ≤ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 ≤ ≤顺序和． （三）重难点精讲
题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 例1已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证： 111(1)≥≥；
bccaaba2b2c2111(2)22＋22＋22≥2＋2＋2. bccaababc【精彩点拨】 由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组． 11
【自主解答】 (1)∵a≥b>0，于是≤. ab111
又c>0，∴>0，从而≥，
cbccabc11
同理，∵b≥c>0，于是≤， 111
∴a>0，∴>0，于是得≥，
acaab111从而≥≥.
bccaab111
(2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0，
bccaab≥1
2
∴
1
bc22
≥1
ca22
ab22
，a≥b≥c.
22
由排序不等式，顺序和≥乱序和得
a2b2c2b2c2a2111111＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋， b2c2c2a2a2b2b2c2c2a2a2b2c2a2b2a2b2c2a2b2c2111故22＋22＋22≥2＋2＋2. bccaababc规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
[再练一题]
a5b5c5c2a2b2
1．本例题中条件不变，求证：33＋33＋33≥3＋3＋3.
bccaababc【证明】 ∵a≥b≥c≥0， ∴a≥b≥c， 1
5
5
5
cba11
≥≥＞0.
111∴≥≥，
bcacba
∴
1
b3c3≥1
a3c3≥1
b3a3
，由顺序和≥乱序和得
a5b5c5b5c5a5
＋＋≥＋＋ b3c3a3c3b3a3b3c3a3c3b3a3b2c2a2
＝3＋3＋3， caba5b5c5c2a2b2∴33＋33＋33≥3＋3＋3. bcacbaabc题型二、字母大小顺序不定的不等式证明
a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3
例2设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋. 2c2a2bbccaab【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；
(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．
【自主解答】 不妨设0 3 3 3 bccaab11 ≤≤， 由排序原理：乱序和≤顺序和，得 a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·， caabbcbccaaba3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·. abbccabccaab将上面两式相加得 333 a2＋b2b2＋c2c2＋a2?abc?＋＋≤2?＋＋?， cab?bccaab? 11 11 11 11 11 11 将不等式两边除以2， a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3得＋＋≤＋＋. 2c2a2bbccaab规律总结：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论． [再练一题] a2a2a2a212n－1n2．设a1，a2，…，an为正数，求证：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3ana1 【证明】 不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则 22 a21≤a2≤…≤an，≥≥…≥. a1a2an111
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式教案新人教A版选修4_5
