第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.2 时域离散信号 1.2.1 常用的典型序列(7
δ(n)1δ(t) 1. 单位采样序列(单位脉冲序列) δ(n) =
特点:仅在n=0时取值为1，其它均为零。
2. 单位阶跃序列u(n)=
单位阶跃序列如图1.2.2所示。 模拟信号中单位阶跃函数u(t)
1,t ＞0 0,t ＜0 ?,t＝0 δ(n)与u(n)之间的关系如下式所示：
δ(n)=u(n)-u(n-1) (1.2.5)
(1.2.6)
令n-k=m，代入上式得到 3. 矩形序列RN(n)
1, 0≤n≤N-1 0， 其它n
(1.2.8)
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.3所
示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：
RN(n)=u(n)-u(n-N)
(1.2.9)
4. 实指数序列
x(n)=anu(n)， a为实数 如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列；如|a|>1，
则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。
5. 正弦序列
x(n)=sin(ωn)
式中ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化
的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号Xa(t)采样得到，那么 xa(t)=sin(Ωt)
xa (t)|t=nT=sin(ΩnT) x(n)=sin(ωn)
nt－101230( a )( b )1 / 10
因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率ω与
模拟角频率Ω之间的关系为
ω=ΩT
(1.2.10)
(1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，
模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n
式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n) 由于n取整数，下面等式成立：
e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
7.
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -唴n<唴 (1.2.12) 则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。例如：
上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，可以写成下式：
上式表明 是周期为8的周期序列，也称正弦序列，
如图1.2.5所示。下面讨论一般正弦序列的周期性。 设 x(n)=Asin(ω0n+φ) 那么
x(n+N) =Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)
x(n+N)=x(n)
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小
的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。具体正弦序列有三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0为周期的周期序列。
例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16
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(2) 2π/ ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ ω0 =P/Q，式中P、Q
是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。例如sin(4/5)πn， ω0 =(4/5)π，2π/ ω0 =5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周
(3)2π/ ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的
正弦序列不是周期序列。例如， ω0 =1/4,sin(ω0 n)即不是周期序列。对于复指数序列ejω0 n的周期性也有同样的分析结果。
以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，常用单位采样序
列的移位加权和表示，即
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。例
如：x(n)的波形如图1.2.6所示，可以用(1.2.13)式表示成：
x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
1.2.2
在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移
位、翻转及尺度变换。 1.
序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和
相加，如图1.2.7
2.
设序列x(n)用图1.2.8(a)表示，其移位序列x(n-n0)(当n0 =2时)用图
1.2.8(b)表示；当n0 >0时称为x(n)的延时序列；当n0 <0时，称为x(n)的超前序列。x(-n)则是x(n)的翻转序列，用图1.2.8(c)表示。x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。当m=2时，其波形如图1.2.8(d)所示。
1.3 时域离散系统
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用
y(n)表示。设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间关系用下式表示： y(n)=T［x(n)］
(1.3.1)
其框图如图1.3.1所示。 1.3.1 线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统
的输入序列，其输 出分别用y1(n)和y2(n)表示，即
y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］ 那么线性系统一定满足下面两个公式：
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T［ x1(n)+x2(n)］= y1(n)+y2(n) (1.3.2) T［a x1(n)］=ay y1(n)
(1.3.3)
满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3)式称为线性系统的
比列性或齐次性，式中a是常数。将以上两个公式结合起来，可表示成： y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n) 上式中，a和b均是常数。
例1.3.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系
统。
证明: y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+b y2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+b
y(n)=T［x1(n)+x2(n)］=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)≠y1(n)+y2(n)
因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明
1.3.2
如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间
变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下： y(n)=T［x(n)］
y(n-n0)=T［x(n-n0)］ (1.3.5) 例1.3.2检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b
是常数。
解 y(n)=ax(n)+b
y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=T［x(n- n0)］ 因此该系统是时不变系统。 例1.3.3检查y(n)=nx(n) 解 y(n)=nx(n)
y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0) T［x(n- n0)］=nx(n- n0) y(n- n0)≠T［x(n- n0)］
因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明
所代表的系统不是
时不变系统。
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1.3.3
设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种
条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于δ(n)的零状态响应。用公式表示为 h(n)=T［δ(n)］
(1.3.6)
h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域
设系统的输入用x(n)表示，按照(1.2.13)式表示成单位采样序列移位
加权和为
式中的符号“*”代表卷积运算，(1.3.7)式表示线性时不变系统的输
出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。只要知道系统的单位取样响应，按照(1.3.7)式，对于任意输入x(n)都可以求出系统的输出。下面介绍卷积运算的求解过程。 步骤： 按照(1.3.7)式：
①将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行翻转，形成h(-m)；
②将h(-m)移位n，得到h(n-m)。当n>0时，序列右移；n<0时，序列左移； ③将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。 按照以上三个步骤可得到卷积结果y(n)。
例1.3.4设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。 解 按照(1.3.7)式，
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值
区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0≤m≤3， R4(n-m)的非零值区间为：0≤n-m≤3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式： 0≤m≤3 n-3≤m≤n 因此，
卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示，y(n)用公式表示为 n+1 0≤n≤3 y(n)= 7-n 4≤n≤6
0 其它
卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的
线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为N+M-1。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：
x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
(1.3.8)
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数字信号处理第章时域离散信号与时域离散系统
