圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常
形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：
22）
x2y2（2）双曲线（以??1（a?0,b?0）为
a2b2数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹例）：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：两个
焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线
个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为
中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，
2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等
且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”
时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；
与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是
a2c④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，双以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨
cay2?1上一点，F1,F2为练习：点P是双曲线上x?12双曲线的两个焦点，且PF求?PF1F2的周1PF2=24，
2长。 8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，
若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行
于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线
的一支。
如方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?表8示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在
原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x轴上时x2y2a2?b2?1?b?0），焦点在y轴上时y2x2（aa2?b2＝1（a?b?0）。方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是___（答：5,2）
22（2）双曲线：焦点在x轴上：
xya2?b2 =1，焦点在y轴上：y2x2a2?b2＝1（a?0,b?0）。方程
Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC
≠0，且A，B异号）。
如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲线C过点P(4,?10)，则C
的方程为_______（答：x2?y2?6）
（3）抛物线：开口向右时y2?2px(p?0)，开口向左时y2??2px(p?0)，开口向上时
x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
x2已知方程m?1?y2如2?m?1表示焦点在y轴
上的椭圆，则m的取值范围是__（答：(??,?1)?(1,32)）
（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦
点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒：在椭圆中，a最大，a2?b2?c2，在双曲
线中，c最大，c2?a2?b2。
4.圆锥曲线的几何性质：
x21）椭圆（以a?y2（2b2?1（a?b?0）为例）：
①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??a2为2c； ⑤
离心率：e?ca，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越
圆；e越大，椭圆越扁。
）若椭圆x25?y2如（1m?1的离心率e?105，则m的值是__（答：3或253）；
（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角
曲线?e?1，等轴双曲线?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??bax。 （3）抛物线（以y2?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(p2,0)，其中p的几
何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）
；④准线：一条准线x??p2； ⑤离心率：e?ca，抛物线?e?1。 如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为
________（答：(0,116a)）； 5、点P(xx220,y0)和椭圆
a2?yb2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(xx220y00,y0)在椭圆外?a2?b2?1；（2）
点P(x,yx220y000)在椭圆上?a2?b2＝1；（3）点
2P(xx20y00,y0)在椭圆内?a2?b2?1
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切； （3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。
提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,
也只有一个交点；（2）过双曲线x2y2a2?b2＝1外一点
P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有
两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的
两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： S?b2tan?2?c|y0|，当
|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对
2于双曲线S?b。 如 （1）短轴长为5，
tan?2
9、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝
1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则
AB＝1?1k2y1?y2，
若弦AB所在直线方程设为x?ky?b，则AB＝1?k2y1?y2。特别地，焦
点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆x2y2a2?b2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在
直线的斜率k=－b2x0a2y；
0弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：
x2y2在双曲线a2?b2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在
直线的斜率k=b2x02a2y；在抛物线y?2px(p?0)中，
0以P(xp0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=y。
0提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要
条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！
11．了解下列结论
（1）双曲线x22?y?1的渐近线方程为xa2b2a?yb?0；
（2）以y??bax为渐近线（即与双曲线
x2a2?y2共渐近线）的双曲线方程为x2y2b2?1a2?b2??(?为参数，?≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2?ny2?1；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称
2b2轴的弦）为a，焦准距（焦点到相应准线的距离）b2为c，抛物线的通径为2p，焦准距为p；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线y2?2px(p?0)的焦点弦为AB，
A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|?x1?x2?p；②
p2x1x2?,y241y2??p
（7）若OA、OB是过抛物线y2?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)
12.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点133112312y3xF的距离和最小,则点Q的坐标为 。
(?11?,5)?3(?2,2 )3分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则
2、在平面直角QA坐标系xOyHPH?PF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，
中，已知点PBA(0,-1)，BF距离和最小。
点在直线y = -3上，M点满足（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P2点处得切线，求O点到l距离的最小值。 ）（2）（14,1）
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=1、已知椭圆Cx21的方程为4?y2?1，双曲线C2的左、（-x,-1-y）, MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).再由愿意右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C得知（MA+MB）? AB=0,即（-x,-4-2y）1的左、右焦点。
(1) 求双曲线C2的方程； ? (x,-2)=0.
(2) 若直线l：y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2
所以曲线C的方程式为y=1恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满4x2-2. (Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=1足OA?OB?6(其中O为原点)，求k的取值范围。
4x2-2上一点，因为y'=12x,所以l的解：（Ⅰ）设双曲线C22斜率为12的方程为xa2?yb2?1，则
2x0因此直线l的方程为
a2?4?1?3,再由a2?b2?c2得b2?1.
y?y10?2x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x2?0。
2x2|2y0?x0|.又故C2的方程为3?y2?1.则O点到l的距离（II）将d?x24y120?x0?2，所0?421y?kx?2代入x4?y2?1得(1?4k2)x2?82kx?4?x20?4以0d.?2x2?4?12(x20?4?4x2)?2, 00?4
由直线l与椭圆C21恒有两个不同的交点得
当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
?2221?(82)k?16(1?4k)?16(4k2?1)?0,x2y23设双曲线即 k2?1a2?b2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物
4. ①
线y=x2
+1相切，则该双曲线的离心率等于( )
y?kx?2代入x2将3?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?04、过椭圆x2y22?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x.由直线l与双曲线C2
恒有两个不同的交点A，B得
ab轴
??2?1?3k?0,?即1的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若?F1PF2?60，?k2?且k2?2222?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.3?1.则椭圆的离心率为
设A(x62k?9x2A,yA),B(xB,yB),则xA?xB?1?3k2,xA?xB?5、已知双曲线?y21?3k22b2?1(b?0)的左、右焦点分别由OA?OB?6得xAxB?yAyB?6,而是F?x，点P(3,yx1、F2，其一条渐近线方程为y0)AxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)
在双曲线上.则PF1·PF2＝( )0
?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?26、已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y2?8x?(k2?1)??962k1?3k2?2k?1?3k2?2
相交于A、B两点，F为C的焦点，若
?3k2?7|FA|?2|FB|，则k?3k2?1.( )
于是3k2?715k2?133k2?1?6,即3k2?1?0.解此不等式得
7、已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛k2?131物线y2?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之15或k2?3. ③ 和的最小值是（ ）
由①、②、③得14?k2?1133或15?k2?1.
故
k
的
取
值
范
围
为
8、设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.
(9、椭圆,91?25)?1的焦点为(F1,,F2，点1P)在椭圆上，若|PF1|?4，则|PF2|? ；?F1PF2的大小为 . 10、过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，
则p?________________ 【解析】设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y'|x?x0?2x0.
由题意有
y0x?2x0又
y0?x20?1解得:
0x20?1,?bba?2,e?1?(a)2?5
双曲线
x2a2?y2b2?1的一条渐近线为y?bax,由方程组
???y?bxy,得
x2?b?a,消去?y?x2?1ax?1?0有唯一解,所以△=(b)2?4?以
ba0,所
a?2,
ca2?b2e?a?a?1?(ba)2?5
由渐近线方程为y?x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程
是x2?y2?2，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且
P(3,1)或
P(3,?1).不妨去P(3,1)，
则
PF1?(?2?3,?1)，
PF2?(2?3,?1).
∴
PF1·
PF2＝
(?2?3,?1)(2?3,?1)??(2?3)(2?3)?1?0
【解析】设抛物线C:y2?8x的准线为l:x??2直线
y?k?x?2??k?0?恒过定点
P??2,0? .如图过A、B分 别作
AM?l于
M,
BN?l于
N
, 由
|FA|?2|FB|,则|AM|?2|BN|,点B为AP的中点.
连结OB,则|OB|?12|AF|, ?|OB|?|BF| 点
B的横坐标为1, 故点B的坐标为
(1,22)?k?22?021?(?2)?23, 故选D
A?x??y21?4x11,y1?,B?x2,y2?,则有x1?x2，???y22?4x2两式相减得，y22y?y241?y2?4?x1?x2?，?1xx?y?1?2y1?2?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案
