第一讲 坐标系
(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A．两个圆
C．一个圆和一条射线
B．两条直线
D．一条直线和一条射线
解析：方程(ρ－1)(θ－π)＝0?ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示半径为1的圆，
θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．
答案：C
2．(2019·玉溪一中月考)在极坐标系中，极点关于直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0对称的点的极坐标为( )
π??A．?2，? 4??3π??C．?2，? 4??
π??B．?2，－?
4??3π??D．?2，－? 4??
解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0化为直角坐标系下的方程为x－y＋1＝0，极点的直角坐标为(0,0)．又点(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为(－1,1)，其转化为极坐3π??标为?2，?，所以极点关于直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0对称的点的极坐标为
4??
?2，3π?，故选C．
?4???
答案：C
3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
?π?A．?1，?
2??
C．(1,0)
π??B．?1，－?
2??D．(1，π)
2
2
2
2
解析：ρ＝－2sin θ的直角坐标方程为x＋y＝－2y，即x＋(y＋1)＝1，其圆心(0，π??－1)，其极坐标为?1，－?.
2??
答案：B
4．(2019·北京四中检测)曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为( ) A．x＋(y＋2)＝4 C．(x－2)＋y＝4
2
2
2
2
B．x＋(y－2)＝4 D．(x＋2)＋y＝4
2
2
22
1
解析：∵ρ＝4sin θ，∴ρ＝4ρsin θ，∵ρ＝x＋y，ρsin θ＝y，∴x＋y＝4y，化为直角坐标方程为x＋(y－2)＝4，故选B．
答案：B
5．(2019·天津河西区模拟)在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
3π??，1? A．?2，4??5π??，1? C．?2，4??
π??B．?2，，1?
4??7π??D．?2，，1? 4??
2
2
222222
5π??解析：点(1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，转化为柱坐标为?2，，1?，
4??故选C．
答案：C
6．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的极坐标方程为( ) π??A．ρ＝2cos?θ－?
4??C．ρ＝2cos(θ－1)
π??B．ρ＝2sin?θ－?
4??D．ρ＝2sin(θ－1)
解析：设圆上任一点的极坐标为(ρ，θ)，
则由半径为1，得?ρcos θ－cos 1?＋?ρsin θ－sin 1?＝1， 化简可得所求的方程为ρ＝2cos(θ－1)． 答案：C
1
7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝所表示的图形是( )
2
2
2
解析：由ρ＝cos θ?ρ＝ρcos θ?
2
x2＋y2＝x??x－?2＋y2＝，
2
??
1?
?
14
1?1?∴ρ＝cos θ表示以?，0?为圆心，为半径的圆． 2?2?
2
ρcos θ＝?x＝，故选B．
答案：B
π??π??8．在极坐标系中点?4，?到直线ρcos?θ－?＝1的距离为( )
3?3???A．2 C．3
B．1 D．3
1
212
?4，π?化为直角坐标为(2,23)．?θ－π?＝1化为直角坐标方程为x＋3解析：ρcos????3?3???
y－2＝0，由点到直线的距离公式可知d＝
答案：D
π?π???9．(2019·人大附中期末)直线ρsin?θ＋?＝4与圆ρ＝4sin?θ＋?的位置关系是
4?4???( )
A．相交但不过圆心 C．相切
B．相交且过圆心 D．相离
|2＋23×3－2|
＝3. 22
1＋?3?
π??解析：直线ρsin?θ＋?＝4转化为直角坐标系下的方程为x＋y－42＝0.圆ρ＝4??π??22
4sin?θ＋?转化为直角坐标系下的方程为(x－2)＋(y－2)＝4，因为圆心(2，2)
4??|2＋2－42|
到直线的距离d＝＝2＝r，所以圆与直线相切，故选C．
2
答案：C
10．极坐标方程θ＝( )
16A．π
34
C．π 3
8B．π 32D．π 3
π2
，θ＝π(ρ≥0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是33
π2
解析：∵ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆，设θ＝，θ＝π(ρ≥0)表示
332ππ1
的两条射线与圆相交于A、B两点，则∠AOB＝π－＝.∴其围成的图形的面积为S＝
3336182
πR＝×π×16＝π.
63
3
答案：B
11．可以将椭圆＋＝1变为圆x＋y＝4的伸缩变换为( )
108
x2y2
22
?2x′＝5x，A．?
?y′＝2y?5x′＝2x，C．?
?2y′＝y
?2x′＝x，B．?
?5y′＝2y?5x′＝2x，D．?
?2y′＝y
??x′＝λx?λ>0?，
解析：设?
?y′＝μy?μ>0?，?
代入x＋y＝4中，得λx＋μy＝4.即222222
x2
4
＋y2
4
＝1，
λ2μ2
4??λ＝10，
由题意得?4
??μ＝8，
22
10
?λ＝，?5得?
2μ＝.??2
10
?x′＝x，?5∴?
2
y′＝y，??2答案：C
即?
?5x′＝2x，?2y′＝y.
π12．(2019·牡丹江一中期末)圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsinθ＋(r＞0)的公共弦所在直
4线的方程为( )
A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
解析：圆ρ＝r化为直角坐标方程为x＋y＝r， ①
π?2?2??圆ρ＝－2rsin?θ＋?＝－2r?sin θ＋cos θ?＝－2r(sin θ＋cos θ)，两4??2?2?边同乘以ρ，得ρ＝－2r(ρsin θ＋ρcos θ)，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式，得x＋y＝－2r(x＋y)， ②
将①代入②，整理得r＝－2(x＋y)，此方程为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程，将其化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r，故选D．
答案：D
2
2
2
2
2
2
4
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
?ππ?13．将点A?2，，?的球坐标化为直角坐标为________．
63??
解析：设点A的直角坐标为(x，y，z)，
??ππ3
由题意得?y＝2sinsin＝，632π?z＝2cos＝3.?6
x＝2sincos＝，
3?1?
答案：?，，3?
?22?
π
6π132
π?2?14．(2019·渑池检测)若直线的极坐标方程为ρsin?θ＋?＝，则极点到该直线的4?2?距离是________．
π?2?解析：将直线的极坐标方程ρsin?θ＋?＝，转化为直角坐标方程为x＋y－1＝0，
4?2?|－1|2
极点的直角坐标为(0,0)，所以极点到该直线的距离d＝＝.
22
答案：
2
2
π
15．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离等于________．
6解析：ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x＋y＝4y，即x＋(y－2)＝4，其圆心为(0,2)，
2
2
2
2
θ＝化为直角坐标方程为y＝
23＝＝3.
2
答案：3
π63
x，即x－3y＝0.点(0,2)到直线x－3y＝0的距离为d3
16．(2019·北京东城区模拟)已知圆的极坐标方程为ρ＋2ρ(cos θ＋3sin θ)－52π
＝0，则直线θ＝截圆所得弦AB的长为________．
3
2π??θ＝3，
解析：解法一：由?
??ρ2＋2ρ?cos θ＋3sin θ?－5＝0，
2
5
2019_2020学年高中数学第1讲坐标系阶段性测试题一新人教A版选修4_4
