2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)设?xn?是数列,下列命题中不正确的是 ( )

(A) 若limxn?a,则 limx2n?limx2n?1?a

n??n??n??(B) 若limx2n?limx2n?1?a, 则limxn?a

n??n??n??(C) 若limxn?a,则 limx3n?limx3n?1?a

n??n??n??(D) 若limx3n?limx3n?1?a,则limxn?a

n??n??n??【答案】(D)

【解析】考查数列极限与子列极限的关系。

数列收敛，那么它的任何无穷子列均收敛，所以A与C正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的。B正确，D错,故选D (2) 设函数f?x?在???,???内连续,其2阶导函数f???x?的图形如右图所示,则曲线

y?f?x?的拐点个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)

【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是f??(x)不存在的点或f??(x)?0的点处产生。所以

y?f(x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数f??(x)符号发

生改变的点即为拐点。所以从图可知，拐点个数为2，故选C.

1

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题

(3) 设 D???x,y?x2cos?2?y2?2x,x2?y2?2y,函数f?x,y?在D上连续,则

???f?x,y?dxdy? ( )

D (A)

???40d??d??10f?rcos?,rsin??rdr??d??f?rcos?,rsin??rdr??d??f?x,y?dy

?2?4?2?42sin?0f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??rdr

(B)

?402sin?2cos?0x0(C) 2dx0??101?1?x2(D) 2dx??2x?x2xf?x,y?dy

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域

???????D1??(r,?)0???,0?r?2sin??D2??(r,?)???,0?r?2cos??

442?????所以B。

??Df(x,y)dxdy??4d??02sin??0f(rcos?,rsin?)rdr???2d??42cos?0f(rcos?,rsin?)rdr，选

(4) 下列级数中发散的是( )

?1n1ln(1?) (A) ?n (B) ?nn?13n?1n?n!(?1)n?1(C) ? (D) ?n

lnnn?1nn?2??【答案】(C)

n?1?n?1nn?113lim?lim??1A为正项级数，【解析】因为，所以根据正项级数的比值判别法?nn??n??3nn3n?13n311ln(1?)收敛；B为正项级数，因为nn

1n32，根据P级数收敛准则，知

2

?n?1?11ln(1?)收敛；

nn 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题

?(?1)n(?1)n?1?(?1)n?1C，?????，根据莱布尼茨判别法知?收敛，

lnnn?1lnnn?1n?1lnnn?1lnn?1发散，?lnnn?1?(?1)n?1所以根据级数收敛定义知，?发散；D为正项级数，因为

lnnn?1?(n?1)!n(n?1)!nn(n?1)n?1?n?1lim?lim?lim????1，所以根据正项级数的比值判别法n?1n??n??n??n!n!(n?1)?n?1?enn?nn?1?n!n收敛，所以选C。

?1??111????? (5)设矩阵A??12a?,b??d?.若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有无

???14a2??d2?????穷多解的充分必要条件为： ( )

(A) a??,d?? (B) a??,d?? (C) a??,d?? (D) a??,d?? 【答案】(D)

?111?【解析】(A,b)??12a?14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??，

由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2。故选（D）

222(6) 设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换x?Py下的标准形为2y1，其中?y2?y3P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)则f?(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形

为( )

222222(A)2y1 (B) 2y1 ?y2?y3?y2?y3 3