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2．5.1 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一 离散型随机变量的均值或数学期望
设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.
思考1 任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？ 思考2 当X取上述值时，对应的概率分别是多少？ 思考3 如何求每个西瓜的平均重量？ 梳理 离散型随机变量的均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表：
X P (1)数学期望：E(X)＝μ＝
x1 p1 x2 p2 … … xn pn ________________________________________________________________________. (2)性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)数学期望的含义：它反映了离散型随机变量取值的____________． 知识点二 两点分布、超几何分布、二项分布的均值 1．两点分布：若X～0－1分布，则E(X)＝________. 2．超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝________. 3．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝________.
类型一 离散型随机变量的均值
命题角度1 一般离散型随机变量的均值
例1 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；
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(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率． 反思与感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)．
跟踪训练1 在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元，20个奖品是25元，5个奖品是100元．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？ 命题角度2 二项分布与两点分布的均值 引申探究
在重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2.求E(η)．例2 某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次命中次数X的均值； (2)求重复5次投篮，命中次数Y的均值． 反思与感悟 (1)常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率，则 ①两点分布E(X)＝p； ②二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度． (2)两点分布与二项分布辨析
①相同点：一次试验中要么发生要么不发生． ②不同点：
a．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X＝
0,1,2，…，n.
b．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
跟踪训练2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值． 命题角度3 超几何分布的均值
例3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋3
中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数
5
ξ的均值E(ξ)．
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反思与感悟 (1)超几何分布模型
CMCN－M一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则P(X＝k)＝n，
CNkn－kk＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
(2)超几何分布均值的计算公式
若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝.
跟踪训练3 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的个数，求均值E(X)． 类型二 均值的应用
例4 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，1
负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1
2局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值．
反思与感悟 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．
跟踪训练4 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和均值．
1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元111
的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为
623________．
2．若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表：
nMNξ 0 1 2 金戈铁制卷
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P 则E(ξ)的最大值为________． 1－p 2p 1 23．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p＝________.
4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的概率分布、均值；
(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．
1．求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值． (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否． (3)根据公式写出均值．
2．若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．
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答案精析
问题导学 知识点一
思考1 X＝5,6,7. 41
思考2 P(X＝5)＝＝，
123
P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝.
思考3
5×4＋6×3＋7×511573
＝5×＋6×＋7×＝.
12341212
31124512
梳理 (1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn (3)平均水平 知识点二 1．p 2. 3.np 题型探究
例1 解 (1)X的可能取值为－300， －100,100,300.
nMNP(X＝－300)＝0.23＝0.008，
2
P(X＝－100)＝C13×0.8×0.2＝0.096， 21P(X＝100)＝C23×0.8×0.2＝0.384，
P(X＝300)＝0.83＝0.512，
所以X的概率分布如下表：
X P －300 0.008 －100 0.096 100 0.384 300 0.512 所以E(X)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180(分)． (2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X≥0)＝P(X＝100)＋P(X＝300) ＝0.384＋0.512＝0.896.
跟踪训练1 解 设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意X的概率分布如下表：
X P 0 391 4005 1 5025 1 500100 1 2 000金戈铁制卷
高中数学 第二章 概率 2.5.1 离散型随机变量的均值学案 苏教版选修2-3
