2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.
奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.
(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.
4. 其他性质：
① 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.
② 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数 不是平方数.
a) 2n (n为正整数)不含大 于1的奇因数.
b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶. c) 若n个整数的积是奇数，则它们都是奇数.
例1. 设m 与n都是正整数，试证明m3－n3为偶数的充分必要条件是m－n为偶数.
证明：∵m3－n3＝（m－n）(m2+mn+n2).
当m－n为偶数时，不论m2+mn+n2是奇数或偶数，m3－n3都是偶数； ∴m－n为偶数是m3－n3为偶数的充分条件.
当m－n为奇数时，m, n必一奇一偶，m2，mn，n2三个数中只有一个奇数， ∴m2+mn+n2是奇数，从而m3－n3也是奇数. ∴m－n为偶数，是m3－n3为偶数的必要条件.
综上所述m3－n3为偶数的充分必要条件是m－n为偶数.
例2. 求方程x2－y2=1990的整数解.
解：(x+y)(x－y)=2×5×199.
若x, y同是奇数或同是偶数，则 x+y，x－y都是偶数，其积是4的倍数，但1990
不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.
若x, y为一奇一偶，则x－y，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，
∴方程两边也不能相等.
综上所述，不论x, y取什么整数值，方程两边都不能相等. 所以 原方程没有整数解
本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性. 练习：37. 设n为整数，试判定n2－n+1是奇数或偶数.
38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？
39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由. 40. 求证：方程x2+1989x+9891=0没有整数根.
?x1?x2?x3???xn?0；41. 已知： ? 求证：n是4的倍数.
x?x?x???x?n.n?12342. 若n是大于1的整数，p=n+(n2－1)
1?(?1)n2试判定p是奇数或偶数，或奇偶数都有
可能. (1985年全国初中数学联赛题)
已. 按余数分类
1. 整数被正整数 m除，按它的余数可分为m类，称按模m分类. 如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k为整数，下同
模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.
……
模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.
2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.
如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.
3. 按模m分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.
如：若a=5k1+1, b=5k2+2.
则a+b除以5 余数 是3 (1+2)；
ab除以5余2 (1×2)； b2 除以5余4 (22).
例1. 求19891989除以7的余数.
解：∵19891989=(7×284+1)1989， ∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).
即19891989除以7的余数是1.
练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期________.
44. n 个整数都除以 n－1, 至少有两个是同余数，这是为什么？
45. a 是整数，最简分数
a化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几7位？
4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验 例2. 下列演算是否正确？
① 12625+9568=21193 ； ② 2473×429=1060927. 解：①用各位数字和除以9，得到余数：
12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7. ∵ 7+1≠7， ∴演算必有错.
② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.
而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.
注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确. 练习：46. 检验下列计算有无差错：
①372854－83275=289679 ； ②23366292÷6236=3748. 5. 整数按模分类，在证明题中的应用
例3. 求证：任意两个整数a和b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.
证明：把整数a和b按模3分类，再详尽地讨论.
如果a, b除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b的差是3的倍数； 如果a, b除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b的积是3的倍数； 如果a, b除以3，余数分别是1和2，那么a, b的和是3的倍数.
综上所述任意两个整数a，b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.
(分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏) 例4. 已知： p≥5，且 p和2p+1都是质数.
求证：4p+1是合数.
证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k为整数)三类讨论
∵p是质数，∴不能是3的倍数，即p≠3k；
当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p≠3k+1； 只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.
∴2 p+1也是质数， 符合题设.
这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕
练习：47. 已知：整数a不能被2和3整除 . 求证：a2+23能被24整除.
48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6. 49. 若正整数a不是5的倍数. 则a8+3a4－4能被100整除.
50. 已知：自然数n>2求证：2n－1和2n+1中，如果 有一个是质数，则另一个必是
合数.
51.设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证 a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)
庚. 整数解
1. 二元一次方程 ax+by=c的整数解：当a,b互质时，若有一个整数的特解??x?x0那么
?y?y0?x?x0?bk可写出它的通解?(k为整数)
y?y?ak0?2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质
整数±整数=整数， 整数×整数=整数，
整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)
自然数
=整数
3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解. 4. 根据已知条件讨论整数解.
例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.
解：设小军和小红的生日分别为x, y，根据题意，得
?y?x?7k7 (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k ?2?y?x?34k=1, 3时， x没有整数解； 当k=2时， ??x?10，
?y?24.当k=4时，??x?3y， (10月份没有31日，舍去)
y?31.?∴小军的生日在10月10日
例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初二数学双基赛题) 解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c都是整数，0 那么 100a?10b?ca?b?c?9a?b? ， 且－8 1111要使a－b+c被11整除，其值只能是0和11. ( 1)当a－b+c=0时， 得9a+b=a2+b2+c2. 以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得 2a2+2(c－5)a+2c2－c=0 ?a1?a2?5?c，?根据韦达定理?c 这是必要而非充分条件. 2a1a2?c?.?2?∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论a的解. 当 c=2, 4时，无实数根； 当c=1, 3时，无整数解； 只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去) ∴只有c=0, a=5, b=5适合 ∴所求的三位数是550； (2)当a－b+c=11时， 得9a+b+1=a2+b2+c2. 以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得 2a2+2(c－16)a+2c2－23c+131=0. 仿(1)通过韦达定理，由c的值逐一以讨论a的解. 只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件. 即所求三位数为803. 综上所述，符合条件的三位数有550和803. 练习：52. 正整数x1, x2, x3,……xn满足等式x1＋x2＋x3＋x4+x5=x1x2x3x4x4x5 那么 x5的最大值是________. （1988年全国初中数学联赛题） 53. 如果p, q, 2p?12q?1, 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q的值. qp54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. （1988年全国初中数学联赛题） 能否找到这样的两个正整数m和n，使得等式m2+1986=n2成立. 试说出你的猜想，并加以证明. （1986年泉州市初二数学双基赛题） 当m取何整数时，关于x的二次方程m2x2－18mx+72=x2－6x的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初二数学双基赛题） 若关于x的二次方程（1+a）x2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a的取值是________________. （1989年泉州市初二数学双基赛题） 不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________. 直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长. 鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？ 若1×2×3×4×……×99×100=12 n×M，其中M为自然数，n为使得等式成立的最大自然数，则M是( ) (A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除. (C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除. (1991年全国初中数学联赛题)
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