初中数学竞赛辅导资料(70)
正整数简单性质的复习
甲. 连续正整数
一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n位数的个数共__________.(n是正整数)
练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.
2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数； 100110021003……19881989是_______位数.
3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个. 4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个； 从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个. 二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×
n. 2把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.
练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.
6. 1+3+5+……+99=____________. 7. 5+10+15+……+100=_________. 8. 1+4+7+……+100=____________. 9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______
10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________. 11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________. 三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和
整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；
1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.
练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.
13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：
1234567891?这个数用9除的余数是__________. ??????01112??????198位(1987年全国初中数学联赛题) 14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：
① 它是一个________位数；
② 它的各位上的数字和等于________；
③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十
位是___________________________.
四.连续正整数的积：
① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n的阶乘. ② n个连续正整数的积能被n!整除.
如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n－1). a为整数.
③ n! 中含有质因数m的个数是??n??n??n?++…+. i?2?????m??m??m?[x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3… mi≤n 如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：??10??10???2?=3+1=4 ?3???3?练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____
16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个
(1988年全国初中数学联赛题) 17. 求证：10494 | 1989!
18. 求证：4! | a(a2－1)(a+2) a为整数
五. 两个连续正整数必互质
练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.
乙. 正整数十进制的表示法
一. n+1位的正整数记作：an×10n+an－1×10n1+……+a1×10+a0 其中n是正整数，且0≤ai≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位an≠0. 例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.
例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A能被99整除. 证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33 =12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33. ∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n=(99+1) n≡1 (mod 9)
∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 ) =99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23) =99k+45×11
=99k+99×5. ∴A能被99整除. 练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除 二. 常见的一些特例
－
1 n1 n－1, n－1), 111?1?=10=(10 (10－1). 999?9333?3???????????39n个1n个9n个3例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正
整数的积. 证明：第n个数是111????1222??????2=
n个1n个212(10 n?1)×10 n+(10n?1) 99 =
1(10 n?1)(10 n+2) 910n?110n?1?3?= 3310n?110n?1?(?1) =
33=333????34. 证毕. ????3×333n个3(n?1)个3练习：21. 化简 999??????9×999??????9+1999??????9=_______________________________.
n个9n个9n个922. 化简 111????1-222??????2=____________________________________________.
2n个1n个223. 求证 111????1是合数.
1990个124. 已知：存在正整数 n,能使数111????1被1987整除.
n个1 求证：数p=111????1999??????9888????8777??????7和
n个1n个9n个8n个7 数q=111????1999??????9888????8777??????7都能被1987整除.
n?1个1n?1个9n?1个8n?1个7 (1987年全国初中数学联赛题)
25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数
的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除. 26. 求证：111????1×1000??????05+1是完全平方数.
n个1n?1个0丙. 末位数的性质
.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3. 1. N (a4k+r)=N (ar) a和k都是整数，r=1,2,3,4.
特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是
4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身. 2. N (a)=N (b)?N (a－b)=0?10 |(a－b).
3. 若N (a)=a0, N (b)=b0. 则N (an)=N (a0n)； N (ab)=N (a0b0). 例题1：求①53100 ； 和 ②7
×
77的个位数.
解：①N (53100)=N (3424+4)=N (34)=1
②先把幂的指数77化为4k+r形式，设法出现4的因数. 77=77－7+7=7(76－1)+4+3 =7(72－1)(74+72+1)+4+3
=7×4×12× (74+72+1)+4+3 =4k+3
∴N(7
77)=N(74k+3)=N(73)=3.
99练习：27. 19891989的个位数是______，9
的个位数是_______.
28. 求证：10 | (19871989－19931991).
29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.
二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；
连续整数平方的个位数的和，有如下规律：
12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和
例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.
(1991年全国初中数学联赛题)
解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是： (1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.
2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法
例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.
证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：
(n－2)2+(n－1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k都是整数)
5(n2+2)=k2 .
∵ k2是5的倍数，k也是5的倍数.
设k=5m, 则5(n2+2)=25m2. n2+2=5m2.
n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n2的倍数是8或3. 但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.
∴假设不能成立
∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 3.判断不是完全平方数的其他方法 例题3. 已知：a是正整数.
求证： a(a+1)+1不是完全平方数
证明：∵a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数 ∴ a2< a(a+1)+1=a2+a+1<(a+1)2，
∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间 ∴a(a+1)+1不是完全平方数 例题4. 求证：111????1 (n>1的正整数) 不是完全平方数
n个1 证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.
但 111????1=111????100?11=4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3
n个1n-2个1即111????1除以4余数为3，而不是1，
n个1∴它不是完全平方数.
例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.
证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.
∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1
=4(a2+b2+a+b)+2.
这表明其和是偶数，但不是4的倍数，
故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.
三. 魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N
整除，那么N称为魔术数.常见的魔术数有：
a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数
也是魔术数))
c)
能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)
练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.
(1986年全国初中数学联赛题)
四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：
___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)
丁. 质数、合数
?1；?然数整除)；. 1. 正整数的一种分类：?质数 (除1和本身外不能被其他自?合数(除1和本身外还能被其他自然数整除).?2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.
3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数. 例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.
解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：
令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11
那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.
一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用
令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, +……+ m!+n+1 就是所求的合数. ∵m!+i (2≤i≤n+1) 有公约数i.
练习：32. 已知质数a， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.
33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于
____，____.
34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m!=22!
那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……
35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.
(这里11=10+1，即N是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？ 36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x4n 是合数.
戊.奇数和偶数
1.整数的一种分类：?(即除以2，余数为0)?偶数：能被2整除的整数；1)?奇数：不能被2整除的整数.(即除以2，余数为
初中数学辅导资料
