一、数列
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列
2.通项公式：如果数列?an?的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an?f(n).
3.递推公式：如果已知数列?an?的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项
an?1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an?f(an?1)或an?f(an?1,an?2)，
那么这个式子叫做数列?an?的递推公式. 如数列?an?中，a1?1,an?2an?1，其中
an?2an?1是数列?an?的递推公式. 4.数列的前n项和与通项的公式
?S1(n?1)①Sn?a1?a2???an； ②an??.
S?S(n?2)n?1?n5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何n?N?,均有an?1?an.
②递减数列:对于任何n?N?,均有an?1?an. ③摆动数列:例如: ?1,1,?1,1,?1,?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数M使an?M,n?N?.
⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得an?M. 1、已知an?n1*{a}(n?N)，则在数列的最大项为__（答：）； n25n2?156an2、数列{an}的通项为an?，其中a,b均为正数，则an与an?1的大小关系为___（答：
bn?1an?an?1）；
3、已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围（答：???3）；4、一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)*得到的数列{an}满足an?1?an(n?N)，则该函数的图象是
（）（答：A）
二、 等差数列
1、 等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即
??an?an?1?d(n?N*,且n?2).(或an?1?an?d(n?N*)).
2、 （1）等差数列的判断方法：
①定义法：an?1?an?d(常数)??an?为等差数列。 ② 中项法： 2an?1?an?an?2??an?为等差数列。 ③通项公式法：an?an?b（a,b为常数）??an?为等差数列。 ④前n项和公式法：sn?An2?Bn（A,B为常数）??an?为等差数列。 如设{an}是等差数列，求证：以bn=等差数列。
（2）等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。公式变形为:an?an?b.
a1?a2???an n?N*为通项公式的数列{bn}为
n其中a=d, b= a1－d.
如1、等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an? （答：2n?10）；2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：
8?d?3） 3n(a1?an)n(n?1)，Sn?na1?d。公式变形为：22（3）等差数列的前n和：Sn?sn?An2?Bnd，其中A=2，B=a1?d.注意：已知n,d, a1,an, sn中的三者可以求
2另两者，即所谓的“知三求二”。
如 数列 {an}中，an?an?1?1315(n?2,n?N*)，an?，前n项和Sn??，则
2222a1＝＿，n＝＿（答：a1??3，n?10）；（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n，
2*??12n?n(n?6,n?N)求数列{|an|}的前n项和Tn（答：Tn??2）. *??n?12n?72(n?6,n?N)（4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?a?b。 2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及
Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，
即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，a?3d,a?d,a?d,a?3d,…（公差为2d）
3.等差数列的性质：
（1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn?na1?函数且常数项为0. 等差数列{an}中，+ (a1－
n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次222SnSd是n的一次函数，且点（n，n）均在直线y =x nn2d)上 2（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。
（3）对称性：若?an?是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有
am?an?2ap.
如1、等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____（答：27）； 2、在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则A、
S1,S2LS10都小于0，S11,S12L都大于0 B、S1,S2LS19都小于0，S20,S21L都大于
0 C、S1,S2LS5都小于0，S6,S7L都大于0 D、S1,S2LS20都小于0，S21,S22L都大于0 （答：B）
(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,ak?m,ak?2m,...(k,m?N*)成等差.若
*{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N)、aSn,S2n?Sn,S3n?S2n（公差为n2d）．，…也成等差数列，而{an}成等比数列；若{an}是
等比数列，且an?0，则{lgan}是等差数列.
如 等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。
（答：225）
（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，
sn?n(an?an?1)；s偶?s奇?nd；
s偶an?1. ?s奇an 项数为奇数2n?1时，
s2n?1?(2n?1)an；s偶?s奇??a1 ；
s偶n?1。 ?ns奇 如1、在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；
2、项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的
中间项与项数（答：5；31）.
（6）单调性：设d为等差数列?an?的公差，则
d>0??an?是递增数列；d<0??an?是递减数列；d=0??an?是常数数列 (7)若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且
An?f(n)，则Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若
aSn6n?23n?1，那么n?___________（答：） ?Tn4n?38n?7bn（8）设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比
l?m
=?m?n
（?≠－1），则am=
al??an．
1??n?m(a－b)． n?m（9）在等差数列{ an}中，Sn= a，Sm= b (n＞m)，则Sm?n=8、已知?an?成等差数列，求sn的最值问题：
an① 若a1?0,d<0且满足????0,??an?1?0,则sn最大；
?an?0,,则s最小. ②若a1?0,d>0且满足??n??an?1?0 “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等
an?0??an?0?差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组??或??????an?1?0??an?1?0?确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如1、等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；
2、若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，
*a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是 （答：4006）
(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm.
高中数学数列知识点总结（精华版）
