§2.4 二次函数与幂函数
2014高考会这样考 1.求二次函数的解析式；2.求二次函数的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式进行综合应用； 3．利用幂函数的图象、性质解决有关问题．
复习备考要这样做 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用；2.分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质．
1． 二次函数的定义与解析式
(1)二次函数的定义
形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)． 2． 二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) .
?4ac－b2，＋∞? ?4a?b－∞，－?上单调递减； 在x∈?2a??b－，＋∞?上单调递增 在x∈??2a??－∞，4ac－b2? 4a??b－∞，－?上单调递增； 在x∈?2a??b－，＋∞?上单调递减 在x∈??2a?单调性 奇偶性 当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 3. 幂函数 ?－b，4ac－b2? 4a??2ab图象关于直线x＝－成轴对称图形 2a形如y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4． 幂函数的图象及性质
(1)幂函数的图象比较
(2)幂函数的性质比较
[难点正本 疑点清源] 1． 二次函数的三种形式
(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．
(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便． 2． 幂函数的图象
(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
1
(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代
2表．
1． 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为
____________． 答案 (－∞，－2]
解析 f(x)的图象的对称轴为x＝1－a且开口向上， ∴1－a≥3，即a≤－2.
2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为
________． 答案 [1,2]
解析 y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1. 当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数． ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1，无解．
当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2， ymax＝f(0)＝3.
当m>2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3， ∴m＝0，m＝2，无解．∴1≤m≤2.
3． 若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________．
答案 1或2
解析 由m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0，解得m＝1或2.
{
经检验m＝1或2都适合． 4． (人教A版教材例题改编)
1
如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个
2值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为____________． 11
答案 2，，－，－2
22
解析 可以根据函数图象是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值． 5． 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 ( )
A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 答案 A
mm
解析 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，所以－＝
221，即m＝－2.
题型一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次
函数．
思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用． 解 方法一 设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
??
依题意有?4a＋2b＋c＝－1，
??
4ac－b2
a－b＋c＝－1，＝8，解之，得
4a
{a＝－4，
b＝4，c＝7，
∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二 设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)， 2＋?－1?11
∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝.
222又根据题意函数有最大值为n＝8， 1
x－?2＋8. ∴y＝f(x)＝a??2?
1
2－?2＋8＝－1，解之，得a＝－4. ∵f(2)＝－1，∴a??2?1
x－?2＋8＝－4x2＋4x＋7. ∴f(x)＝－4??2?方法三 依题意知，f(x)＋1＝0的两根为
x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0. 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
4a?－2a－1?－a2
又函数有最大值ymax＝8，即＝8，
4a解之，得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
探究提高 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有 关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的 最终结果．
已知二次函数f(x)同时满足条件：
(1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为15； (3)f(x)＝0的两根立方和等于17. 求f(x)的解析式．
解 依条件，设f(x)＝a(x－1)2＋15 (a<0)， 即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.
令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0， 15
∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.
a
33
而x31＋x2＝(x1＋x2)－3x1x2(x1＋x2)
1590
1＋?＝2－， ＝23－3×2×?a??a90
∴2－＝17，则a＝－6.
a∴f(x)＝－6x2＋12x＋9. 题型二 二次函数的图象与性质
例2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
高三数学大一轮复习讲义
