§2.4 二次函数与幂函数
2014高考会这样考 1.求二次函数的解析式;2.求二次函数的值域或最值,和一元二次方程、一元二次不等式进行综合应用; 3.利用幂函数的图象、性质解决有关问题.
复习备考要这样做 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用;2.分析二次函数要抓住几个关键环节:开口方向、对称轴、顶点,函数的定义域;3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质.
1. 二次函数的定义与解析式
(1)二次函数的定义
形如:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)_(a≠0). 2. 二次函数的图象和性质
解析式 f(x)=ax2+bx+c (a>0) 图象 定义域 值域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) f(x)=ax2+bx+c (a<0) .
?4ac-b2,+∞? ?4a?b-∞,-?上单调递减; 在x∈?2a??b-,+∞?上单调递增 在x∈??2a??-∞,4ac-b2? 4a??b-∞,-?上单调递增; 在x∈?2a??b-,+∞?上单调递减 在x∈??2a?单调性 奇偶性 当b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 3. 幂函数 ?-b,4ac-b2? 4a??2ab图象关于直线x=-成轴对称图形 2a形如y=xα (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. 4. 幂函数的图象及性质
(1)幂函数的图象比较
(2)幂函数的性质比较
[难点正本 疑点清源] 1. 二次函数的三种形式
(1)已知三个点的坐标时,宜用一般式.
(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. (3)已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f(x)更方便. 2. 幂函数的图象
(1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴,在(1,+∞)上幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.
1
(2)函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代
2表.
1. 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数,则实数a的取值范围为
____________. 答案 (-∞,-2]
解析 f(x)的图象的对称轴为x=1-a且开口向上, ∴1-a≥3,即a≤-2.
2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为
________. 答案 [1,2]
解析 y=x2-2x+3的对称轴为x=1. 当m<1时,y=f(x)在[0,m]上为减函数. ∴ymax=f(0)=3,ymin=f(m)=m2-2m+3=2. ∴m=1,无解.
当1≤m≤2时,ymin=f(1)=12-2×1+3=2, ymax=f(0)=3.
当m>2时,ymax=f(m)=m2-2m+3=3, ∴m=0,m=2,无解.∴1≤m≤2.
3. 若幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不经过原点,则实数m的值为________.
答案 1或2
解析 由m2-3m+3=1m2-m-2≤0,解得m=1或2.
{
经检验m=1或2都适合. 4. (人教A版教材例题改编)
1
如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象.已知n取±2,±四个
2值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n值依次为____________. 11
答案 2,,-,-2
22
解析 可以根据函数图象是否过原点判断n的符号,然后根据函数凸凹性确定n的值. 5. 函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 ( )
A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 答案 A
mm
解析 函数f(x)=x2+mx+1的图象的对称轴为x=-,且只有一条对称轴,所以-=
221,即m=-2.
题型一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次
函数.
思维启迪:确定二次函数采用待定系数法,有三种形式,可根据条件灵活运用. 解 方法一 设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),
??
依题意有?4a+2b+c=-1,
??
4ac-b2
a-b+c=-1,=8,解之,得
4a
{a=-4,
b=4,c=7,
∴所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 方法二 设f(x)=a(x-m)2+n,a≠0.∵f(2)=f(-1), 2+?-1?11
∴抛物线对称轴为x==.∴m=.
222又根据题意函数有最大值为n=8, 1
x-?2+8. ∴y=f(x)=a??2?
1
2-?2+8=-1,解之,得a=-4. ∵f(2)=-1,∴a??2?1
x-?2+8=-4x2+4x+7. ∴f(x)=-4??2?方法三 依题意知,f(x)+1=0的两根为
x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),a≠0. 即f(x)=ax2-ax-2a-1.
4a?-2a-1?-a2
又函数有最大值ymax=8,即=8,
4a解之,得a=-4或a=0(舍去). ∴函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
探究提高 二次函数有三种形式的解析式,要根据具体情况选用:如和对称性、最值有 关,可选用顶点式;和二次函数的零点有关,可选用零点式;一般式可作为二次函数的 最终结果.
已知二次函数f(x)同时满足条件:
(1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为15; (3)f(x)=0的两根立方和等于17. 求f(x)的解析式.
解 依条件,设f(x)=a(x-1)2+15 (a<0), 即f(x)=ax2-2ax+a+15.
令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0, 15
∴x1+x2=2,x1x2=1+.
a
33
而x31+x2=(x1+x2)-3x1x2(x1+x2)
1590
1+?=2-, =23-3×2×?a??a90
∴2-=17,则a=-6.
a∴f(x)=-6x2+12x+9. 题型二 二次函数的图象与性质
例2 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
高三数学大一轮复习讲义
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