小专题(一) 矩形中的折叠问题
【例】 (连云港中考)在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点
E.将点C翻折到对
角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F. (1)求证:四边形BFDE为平行四边形;
(2)若四边形BFDE为菱形,且AB=2,求BC的长.
【思路点拨】 (1)证△ABE≌△CDF,推出AE=CF,求出DE=BF,DE∥BF,根据平行四边形判定推出即可;(2)求出∠ABE=30°,根据直角三角形性质求出AE、BE,即可求出答案.
【方法归纳】 解决有关矩形的折叠问题时,通常方法是利用根据矩形的性质、折叠的对称性及勾股定理求解.
1.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,则重叠部分△AFC的面积为( ) A.12 B.10 C.8 D.6
2.如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG=60°.现沿直线GE将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则图中与∠BEG相等的角的个数为( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
3.如图,将矩形ABCD沿直线EF对折,点D恰好与BC边上的点H重合,∠GFP=62°,那么∠EHF的度数等于________.
4.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3 cm,
2
BC=5 cm,则重叠部分△DEF的面积是________cm.
5.如图,折叠矩形一边AD,点D落在BC边的点F处,BC=10 cm,AB=8 cm,求: (1)FC的长;
(2)EF的长.
6.如图,四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,折痕为AF,且AB=10 cm,AD=8 cm,DE=6 cm. (1)求证:平行四边形ABCD是矩形;
(2)求BF的长;
(3)求折痕AF长.
7.将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E. (1)当m=3时,求点B的坐标和点E的坐标;(自己重新画图)
(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
8.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=10. (1)求矩形ABCD的周长;
(2)E是CD上的点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处. ①求DE的长;
②点P是线段CB延长线上的点,连接PA,若△PAF是等腰三角形,求PB的长.
(3)M是AD上的动点,在DC上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度的最大值与最小值之和.
参考答案
【例】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD. ∴∠ABD=∠CDB.
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由折叠的性质可得:∠ABE=∠EBD=∠ABD,∠CDF=∠CDB,∴∠ABE=∠CDF.
22∠A=∠C,??
在△ABE和△CDF中,?AB=CD,
??∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴AE=CF.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC. ∴DE=BF,DE∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形. (2)∵四边形BFDE为菱形, ∴BE=ED,∠EBD=∠FBD=∠ABE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,∠ABC=90°. ∴∠ABE=30°.
∵∠A=90°,AB=2,设AE=x,BE=2x. 根据勾股定理得AB=3x. 232343∴x=,即AE=.BE=. 333
234
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=+3=23.
33
针对训练
1.B 2.A 3.56° 4.5.1
5.(1)由题意可得AF=AD=10 cm, 在Rt△ABF中,AB=8 cm, ∴BF=6 cm.
∴FC=BC-BF=10-6=4(cm).
(2)由题意可得EF=DE,可设DE的长为x,
222
则在Rt△EFC中,(8-x)+4=x, 解得x=5,即EF的长为5 cm.
6.(1)证明:∵把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,
22
∴AE=AB=10,AE=10=100.
2222
又∵AD+DE=8+6=100,
222
∴AD+DE=AE.
∴△ADE是直角三角形,且∠D=90°. 又∵四边形ABCD为平行四边形, ∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)设BF=x,则EF=BF=x,EC=CD-DE=10-6=4(cm),FC=BC-BF=8-x,
222222
在Rt△EFC中,EC+FC=EF,即4+(8-x)=x, 解得x=5.
小专题(一) 矩形中的折叠问题
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