1最小二乘法的理论基础
1.1最小二乘法
设单输入单输出线性定长系统的差分方程表示为：
y?k???a1y?k?1??a2y?k?2??b0u?k??b1u?k?1???any?k?n???bnu?k?n????k?其中δ(k)为服从N(0,1)的随机噪声,现分别测出n+N个输出输入值y(1),y(2),…,y(n+N),u(1),u(2),…,u(n+N),则可写出N个方程，写成向量－矩阵形式
?y?n?1????y?n????yn?2???????y?n?1???????yn?N???????y?n?N?1????y?1??y?2?u?n?1?u?n?2??y?N?u?n?N?u?1???u?2?????u?N???
?a1?????n?1???????an????n?2?????????b0???????n?N?????????bn???a1????y?n?1?????n?1??????????yn?2a?n?2????n?,????,????y??????b0????????yn?N?n?N????????????????bn???y??y?n?1 ?1?u?n?1???y?n?1??y?2?u?n?2??????(4.1.1)
u?1???u?2????
则式(1.1.1)可写为 y ? ? （4.1.2） ? ??式中：y为N维输出向量；ξ为N为维噪声向量；θ为（2n+1）维参数向量；Φ为N×（2n+1）测量矩阵。因此，式（4.1.1）是一个含有（2n+1）个未知参数，由N个方程组成的联立方程组。
????1y???1?
在给定输出向量y和测量矩阵Φ的条件下求参数θ的估计，这就是系统辨识问题。 设 ? ? 表示 式中：
? ? ? ? ? （4.1.3） ? 的估计值，?表示y的最优估计，则有 y?1??a????n?1???y??????n?y?n?2????a???y,????? ???b0??????yn?N???????????bn??设e(k)=y(k)- ?(k), e(k)称为残差，则有e=y- ?=y-Φθ 最小二乘估计要求残差的平方和最小，即按照指数函数
?J?eTe?y???求Ｊ对 ? ? 的偏导数并令其等于0可得：
???y?????T（4.1.4）
?J??0??2?Ty???????????Ty?T??由式（4.1.5）可得的
（4.1.5）
? 最小二乘估计：
????T???Ty??1（4.1.6）
J为极小值的充分条件是：
?2JT????02???即矩阵ΦTΦ为正定矩阵，或者说是非奇异的。 1.1.1最小二乘法估计中的输入信号
当矩阵ΦTΦ的逆阵存在是，式（1.1.6）才有解。一般地，如果u(k)是随机序列或伪随机二位式序列，则矩阵ΦTΦ是非奇异的，即（ΦTΦ）－1存在，式（1.1.6）有解。 现在从ΦTΦ必须正定出发，讨论对u(k)的要求。
???Tn?N?1?k?n??yy?2 ??uy?yu??uu??（4.1.7）
当N足够大时有
?Ry1TW.P.1???????N?RyuRuy??RRu??（4.1.8）
如果矩阵ΦTΦ正定，则Ru是是对称矩阵，并且各阶主子式的行列式为正。当N足够大时，矩阵Ru才是是对称的。
由此引出矩阵ΦTΦ正定的必要条件是u(k)为持续激励信号。如果序列{u(k)}的n+1阶方阵Ru是正定的，则称{u(k)}的n+1阶持续激励信号。 下列随机信号都能满足Ru正定的要求 1. 2. 3.
有色随机信号 伪随机信号 白噪声序列
1.1.2最小二乘估计的概率性质 最小二乘估计的概率性质 1） 无偏性
由于输出值y是随机的，所以?是随机的，但注意θ不是随机值。
?是?无偏估计 ??E?????，则称?如果E?2）一致性
估计误差?的方差矩阵为
?12???1????T?Var??E????????N??N????（4.1.9）
??lim?R?1?0,w.p.1limVar?N??N??N上式表明当N→∞时，?以概率1趋近于θ。
当ξ(k)为不相关随机序列时，最小二乘估计具有无偏性和一致性 3)有效性
2如果式（1.1.2）中的ξ的均值为0且服从正态分布的白噪声向量，则最小二乘参数估计值 为有效值，参数??估计偏差的方差达到Cramer-Rao不等式的下界，即
?12T?Var???E?????M?1式中M为Fisher矩阵，且
??（4.1.10）
4）渐近正态性
??????lnpy/?M?E??????????????T???lnpy/??????????????????（4.1.11）
?服从正态分布，如果式（4.1.2）中的ξ是均值为0且服从正态分布的白噪声向量，则最小二乘参数估计值?即
?N?,?2E??T???3
???1??
应用最小二乘一次完成法和递推最小二乘法算法的系统辨识讲解
