1998年北京市中学生数学竞赛试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知如下数组
①3,4,5,②10?3,22?5,32?1010, ③12402,12240,1998,④1998,640,2098. 其中可作为直角三角形三边长度的数组是（ ）. A．①，④ C．②，③
B．②，④ D．③，④
2．在下面时间段内，时钟的时针与分针会出现重合的是（ ） A．5:25～5:26 C．5:27～5:28
B．5:26～5:27 D．5:28～5:29
3．已知A?(2?x)?2(2x?5)，使A为正数的自然数有. A．1个
C．多于2的有限个
B．2个 D．无限多个
4．将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么，不全等的三角形的个数是（ ）. A．5
B．6
C．8
D．10
5．在?ABC中，?C?90?，?A?15?，AB?12.则?ABC的面积等于（ ）. A．16
4B．18
342C．122 3D．123 6．已知a?23，b?24，c?32，d?43，e?42.则a、b、c、d、e的大小关系是（ ）. A．a?b?d?e?c B．a?b?d?e?c C．e?d?c?b?a D．e?c?d?b?a
7．化简1?sin219?1?cos298的结果是（ ）. A．cos19?sin98 B．?cos19?sin98
C．?cos19?sin98 D．cos19?sin98
8．A?xx?3m?5n,m,n?Z，B?xx?2m?4n,m,n?Z那么，A与B的关系是（ ）. A．A?B C．A?B
B．B?A D．A?B??
????9．Rt?ABC的内切圆切斜边AB于点P，AP?7，BP?5.则内切圆的半径等于（ ）. A．6
10．函数f?x??（ ）. A．2
B．?2
C．?1
?1B．35 C．?6?71 D．2
3x?1的值域是集合M.则?2,?2,?1,?3?中不属于M的元素是2?xD．?3
11．已知函数y?f?x?1?的图象过点P?2,4?，那么函数y?f（ ）. A．??1,3?
二、填空题
B．?9,3?
C．??1,2?
?x?5?的图象过点
D．??1,1?
a2?3a?2a?312．化简??1?a?________. 2a?6a?92?a13．如图，P为正方形ABCD内一点，PA?PB?10，并且P点到CD边的距离也等于10.那么，正方形ABCD的面积是________.
14．已知a为整数，4a?12a?27是质数.那么，a的所有可能值的和为__________. 15．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点.若SAHPE?3，SPFCG?5，则S?PBD2?__________.
16．实数a、b、x、y满足y?之值是__________.
x?3?1?a2，x?3?y?1?b2.则2x?y?2a?b17．多项式x2?axy?by2?5x?y?6的一个因式是x?y?2.则a?b的值为__________.
18．梯形的两条对角线互相垂直，其中一条对角线的长是5厘米，梯形的高等于4厘米.那么，梯形的面积是__________.
19．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间乙登楼梯级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上.那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为__________.
20．若x?y?35?2，x?y?32?5.则xy?__________.
21．如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边AB的中点，E、F分别为腰AC、BC上（异于端点）的点，DE?DF，AB?10.设x?DE?DF，则x的取值范围是__________.
22．实数a、b满足a2?2a?1?36?12a?a2?10?b?3?b?2.则a2?b2的最大值为__________.
23．若y、z均为质数，x?yz，且x、y、z.满足__________.
24．黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作。每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数子，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0，等等，如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个是__________.
113??.则1998x?5y?3z?xyz25．我们规定真命题赋值为1，假命题赋值为0.“1”或“0”均称作命题的“真值” 命题A：“在同一个直角坐标系中，曲线y?ax?a?0?的图象与y?x的图象至多有
一个交点.”那么，命题A的真值是__________.
26．在正方体ABCD?EFGH中，过D、C、E三点的平面记为?DCE?，过A、F、
G三点的平面记为?AFG?.那么，?DCE???AFG?为__________.
27．已知log2log3?log4x??log3log4??log2y??log4log2?log3z??0.则
??????1998x?4y?5z的值为__________.
28．已知存在整数a、b、c使等式?x?a???x?1998??1??x?b??x?c?对任意实数
x都成立.则2a?b?c的值为__________.
29．实数a、b、x、y满足?a?b??b?6?b?6?0及
2y?1?y?11?18?x?4?x?4.那么a2?y2的最小值为__________.
30．方程3x?9?4x?16?5x?25?31．若0????30?且sin??cos??66222120的解集为__________. x7，那么，1998cos?的值为__________. 1232．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，全部的九条棱长都等于1，且
?A1AB??A1AC??BAC，P为侧面A1ABB1的对角线A1B上一点，A1P?3，连
3PC1.异面直线PC1与AC所成角的度数为__________.
33．设函数f?x???x?a?对任意实数x都有f?2?x???f?2?x?.则
3f??3??f?3??__________.
34．?ABC的内切圆分别切AB、BC、CA三边于D、E、F，?DEF的内切圆分别切三边DE、EF、FD于P、Q、R.已知?ABC∽?PQR，?PQR的周长等于3.则?ABC的面积等于__________.
35．已知f1?x??4x?1，f2?x??x?2，f3?x???2x?4都是定义在R上的函数.我们定义上的函数为f?x?、f1?x?、f2?x?、f3?x?的最小值.则f?x?的最大值等于__________.
36．已知4sin?cos??5sin??5cos??1?0.则sin3??cos3??__________. 37．长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?5，BC?4，BB1?3.过B1D作长方体的截面，则所得截面多边形面积的最小值是__________.
三、解答题
38．今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克.现要配制浓度为7%的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？ 39．矩形ABCD中，AB?20厘米，BC?10厘米，若在AC、AB上各取一点M、
N（如图）.使BM?MN的值最小，求这个最小值.
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