7.4 基本不等式及其应用
考纲要求
1．了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
2
(1)基本不等式成立的条件：__________.
(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．
a＋b(3)其中称为正数a，b的__________，ab称为正数a，b的__________．
2
2．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当__________时，x＋y有__________是__________(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当__________时，xy有__________值是__________(简记：和定积最大)．
3．几个常用的不等式
22
(1)a＋b__________2ab(a，b∈R)．
?a＋b?2(a，b∈R)．
(2)ab__________??
?2?
a＋b?2a2＋b2?(3)??__________2(a，b∈R)． ?2?
(4)
1．基本不等式ab≤
a＋b
a2＋b2a＋b2
≥
2
≥ab≥
21＋
(a，b＞0)． 1
ab(5)＋≥2(a，b同号且不为0)．
1．若x＋2y＝4，则2＋4的最小值是( )． A．4 B．8 C．22 D．42
x2＋2x＋2
2．函数y＝(x＞－1)的图象最低点的坐标是( )．
x＋1
A．(1,2) B．(1，－2) C．(1,1) D．(0,2)
3．设x＞0，y＞0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )． A．40 B．10 C．4 D．2
1
4．当x＞2时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )．
x－2
A．(－∞，2] B．(－∞，4] C．[0，＋∞) D．[2,4]
32
5．建造一个容积为8 m，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．
xybaab
一、利用基本不等式证明不等式
1
11
【例1】设a，b均为正实数，求证：2＋2＋ab≥22.
ab方法提炼
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
请做演练巩固提升5
二、利用基本不等式求最值 【例2－1】(2012浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )． 2428
A． B． C．5 D．6
55
【例2－2】(1)设0＜x＜2，求函数y＝x4－2x的最大值； 4
(2)求＋a的取值范围；
a－2
34
(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
xy方法提炼
1．在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．
2．对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．
3．为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值．
请做演练巩固提升3,4
三、基本不等式的实际应用
【例3－1】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多
购地总费用
少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 建筑总面积
【例3－2】要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，
2
这三栏的面积之和为60 000 cm，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使整个矩形广告面积最小．
方法提炼
基本不等式实际应用题的特点：
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
请做演练巩固提升2
2
忽视题目的隐含条件致误
2
【典例】在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于
xP、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可．
2
解析：由题意可知f(x)＝的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必
x2??2??关于原点对称，故可设两交点分别为P?x，?与Q?－x，－?，
?x??x?
由两点间距离公式可得
?22?|PQ|＝x＋x2＋?＋?2
?xx?
＝2x2
?4?2
＋??≥4， x??
2
等号当且仅当x＝2，即x＝±2时取得． 答案：4 答题指导：
1．在解答本题时主要有两点误区：
(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解．
2
(2)有些同学设出直线方程与f(x)＝联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求
x解，出现运算繁琐情况，导致错解．
2．解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意： (1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；
(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式； (3)思考要周密，运算要准确、快速．
另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法．
1．设M是△ABC内一点，且S△ABC的面积为1，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p14?1?分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)＝?，x，y?，则＋的最小值是( )． xy?2?
A．8 B．9 C．16 D．18
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费
8
用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
3．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny12
＋1＝0上(其中m，n＞0)，则＋的最小值等于( )．
xmnA．16 B．12 C．9 D．8
11＋
4．已知向量a＝(x，－1)，b＝(y－1,1)，x，y∈R，若a∥b，则t＝x＋＋y＋的最xy小值是( )．
A．4 B．5 C．6 D．8
3
【志鸿优化设计】(山东专用)高考数学一轮复习 第七章不等式7.4基本不等式及其应用教学案 理 新人教A版
