方法强化练——函数与基本初等函数
(建议用时:75分钟)
一、填空题
?x+1?0
1.(2014·珠海模拟)函数y=的定义域为______.
2x+1?x+1≠0,?1?
解析 由?得x∈?-2,+∞?.
???2x+1>0,?1?
答案 ?-2,+∞?
??
2.(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________. ①y=2|x|;②y=lg(x+x2+1);③y=2x+2-x;④y=lg
1
. x+1
解析 根据奇偶性的定义易知①、③为偶函数,②为奇函数,④的定义域为{x|x>-1},不关于原点对称. 答案 ④
3.(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3),则f(2)-f(1)=
________.
1解析 设幂函数为f(x)=xα,则f(9)=9α=3,即32α=3,所以2α=1,α=2,1
即f(x)=x2=x,所以f(2)-f(1)=2-1. 答案
2-1
4.(2014·无锡调研)已知方程2x=10-x的根x∈(k,k+1),k∈Z,则k=________. 解析 设f(x)=2x+x-10,则由f(2)=-4<0,f(3)=1>0,所以f(x)的零点在(2,3)内. 答案 2
5.(2014·天水调研)函数f(x)=(x+1)ln x的零点有________个.
解析 函数的定义域为{x|x>0},由f(x)=(x+1)ln x=0得,x+1=0或ln x=0,即x=-1(舍去)或x=1,所以函数的零点只有一个. 答案 1
1
1?1?1
6.(2014·烟台月考)若a=log20.9,b=3-3,c=?3?2,则a、b、c大小关系为
??________.
?1?1?1?1
解析 a=log20.9<0,b=?3?3>?3?2=c>0.
????答案 a<c<b
?1?7.(2013·潍坊二模)函数y=?2?|x+1|的大致图象为________.
??
??1?x+1??,x≥-1,?1?|x+1|??2?解析 因为y=?2?=?所以图象为②.
??+??2x1,x<-1,答案 ②
2
?x,x<0,
8.(2013·长沙期末考试)设f(x)=?x
2,x≥0,?
则f[f(-1)]=________.
解析 f(-1)=(-1)2=1,所以f[f(-1)]=f(1)=21=2. 答案 2
9.(2013·湖南卷改编)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为________.
解析 因为g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,所以作出函数f(x)=ln x与g(x)=x2-4x+4=(x-2)2的图象,由图象可知两函数图象的交点个数有2个.
答案 2
2
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则 f(-log35)的值为________.
解析 由题意f(0)=0,即1+m=0, 所以m=-1,f(-log35)=-f(log35) =-(3log35-1)=-4. 答案 -4
11.(2014·衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________.
解析 设在甲地销售x辆车,则在乙地销售15-x辆车,获得的利润为 y=5.06x-0.15x2+2×(15-x)=-0.15x2+3.06x+30, 当x=-
3.06
=10.2时,y最大,但x∈N,所以当x=10时,ymax=
2×?-0.15?
-15+30.6+30=45.6. 答案 45.6
12.(2013·陕西卷改编)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有
________.
?1?①[-x]=-[x];②?x+2?=[x];③[2x]=2[x];
???1?④[x]+?x+2?=[2x].
??
解析 特值法 对①,设x=-1.8,则[-x]=1,-[x]=2,所以①为假;对?1?②,设x=1.8,则?x+2?=2,[x]=1,所以②为假;对③,设x=-1.4,[2x]
??=[-2.8]=-3,2[x]=-4,所以③为假. 答案 ④
13.(2014·郑州模拟)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是
增函数,则a的取值范围是________. 解析 g(x)=|x-a|的增区间为[a,+∞), ∴f(x)=e|x-a|的增区间为[a,+∞). ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,
3
∴[1,+∞)?[a,+∞),∴a≤1. 答案 (-∞,1]
14.(2013·滨州一模)定义在R上的偶函数f(x),且对任意实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1)时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是________.
解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期为2.由g(x)=f(x)-kx-k=0,得f(x)=kx+k=k(x+1),分别作出函数y=f(x),y=k(x+1)的图象,设A(3,1), B(-1,0),1-0要使函数有4个零点,则直线y=k(x+1)的斜率0<k≤kAB,因为kAB=
3-?-1?1?11?
=,所以0<k≤,即实数k的取值范围是?0,4?. 44??1??
答案 ?0,4?
??
15.(2014·扬州质检)对于函数f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题: ①q=0时,f(x)为奇函数; ②y=f(x)的图象关于(0,q)对称;
③p=0,q>0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根; ④方程f(x)=0至多有两个实数根. 其中正确命题的序号为________.
解析 若q=0,则f(x)=x|x|+px=x(|x|+p)为奇函数,所以①正确;由①知,当q=0时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称,f(x)=x|x|+px+q的图象由函数f(x)=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位,所以图象关于(0,q)对称,所以
2
?x+q,x≥0,
②正确;当p=0,q>0时,f(x)=x|x|+q=?2当f(x)=0,得
?-x+q,x<0,
x=-q,只有一解,所以③正确;取q=0,p=-1,f(x)=x|x|-x=
4
2
?x-x,x≥0, ?2由f(x)=0,可得x=0,x=±1有三个实根,所以④不正确.综?-x-x,x<0,
上正确命题的序号为①②③. 答案 ①②③ 二、解答题
16.(2013·贵阳诊断)函数f(x)=m+logax(a>0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1, -1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值. ?f?8?=2,?m+loga8=2,解 (1)由?得?
?f?1?=-1,?m+loga1=-1,解得m=-1,a=2,
故函数解析式为f(x)=-1+log2x. (2)g(x)=2f(x)-f(x-1)
=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)] x2
=log2-1(x>1).
x-1
?x-1?2+2?x-1?+1x21
∵==(x-1)++2≥ x-1x-1x-12
1
?x-1?·+2=4.
x-1
1
,即x=2时,等号成立.而函数y=log2x在(0,+∞)x-1
当且仅当x-1=
x2
上单调递增,则log2 -1≥log24-1=1,
x-1故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.
17.(2014·齐齐哈尔调研)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点,已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0). (1)当a=1,b=-2时,求f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围. 解 (1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,由题意可知x=x2-x-3,得x1
5
2015高考数学一轮方法测评练:方法强化练 - 函数与基本初等函数
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