方法强化练——函数与基本初等函数
(建议用时：75分钟)
一、填空题
?x＋1?0
1．(2014·珠海模拟)函数y＝的定义域为______．
2x＋1?x＋1≠0，?1?
解析 由?得x∈?－2，＋∞?.
???2x＋1＞0，?1?
答案 ?－2，＋∞?
??
2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________． ①y＝2|x|；②y＝lg(x＋x2＋1)；③y＝2x＋2－x；④y＝lg
1
. x＋1
解析 根据奇偶性的定义易知①、③为偶函数，②为奇函数，④的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称． 答案 ④
3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)＝
________.
1解析 设幂函数为f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝2，1
即f(x)＝x2＝x，所以f(2)－f(1)＝2－1. 答案
2－1
4．(2014·无锡调研)已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________. 解析 设f(x)＝2x＋x－10，则由f(2)＝－4＜0，f(3)＝1＞0，所以f(x)的零点在(2,3)内． 答案 2
5．(2014·天水调研)函数f(x)＝(x＋1)ln x的零点有________个．
解析 函数的定义域为{x|x＞0}，由f(x)＝(x＋1)ln x＝0得，x＋1＝0或ln x＝0，即x＝－1(舍去)或x＝1，所以函数的零点只有一个． 答案 1
1
1?1?1
6．(2014·烟台月考)若a＝log20.9，b＝3－3，c＝?3?2，则a、b、c大小关系为
??________．
?1?1?1?1
解析 a＝log20.9＜0，b＝?3?3＞?3?2＝c＞0.
????答案 a＜c＜b
?1?7．(2013·潍坊二模)函数y＝?2?|x＋1|的大致图象为________．
??
??1?x＋1??，x≥－1，?1?|x＋1|??2?解析 因为y＝?2?＝?所以图象为②.
??＋??2x1，x＜－1，答案 ②
2
?x，x＜0，
8．(2013·长沙期末考试)设f(x)＝?x
2，x≥0，?
则f[f(－1)]＝________.
解析 f(－1)＝(－1)2＝1，所以f[f(－1)]＝f(1)＝21＝2. 答案 2
9．(2013·湖南卷改编)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为________．
解析 因为g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，所以作出函数f(x)＝ln x与g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象，由图象可知两函数图象的交点个数有2个．
答案 2
2
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则 f(－log35)的值为________．
解析 由题意f(0)＝0，即1＋m＝0， 所以m＝－1，f(－log35)＝－f(log35) ＝－(3log35－1)＝－4. 答案 －4
11．(2014·衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
解析 设在甲地销售x辆车，则在乙地销售15－x辆车，获得的利润为 y＝5.06x－0.15x2＋2×(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30， 当x＝－
3.06
＝10.2时，y最大，但x∈N，所以当x＝10时，ymax＝
2×?－0.15?
－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 45.6
12．(2013·陕西卷改编)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有
________．
?1?①[－x]＝－[x]；②?x＋2?＝[x]；③[2x]＝2[x]；
???1?④[x]＋?x＋2?＝[2x]．
??
解析 特值法 对①，设x＝－1.8，则[－x]＝1，－[x]＝2，所以①为假；对?1?②，设x＝1.8，则?x＋2?＝2，[x]＝1，所以②为假；对③，设x＝－1.4，[2x]
??＝[－2.8]＝－3,2[x]＝－4，所以③为假． 答案 ④
13．(2014·郑州模拟)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是
增函数，则a的取值范围是________． 解析 g(x)＝|x－a|的增区间为[a，＋∞)， ∴f(x)＝e|x－a|的增区间为[a，＋∞)． ∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
3
∴[1，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤1. 答案 (－∞，1]
14．(2013·滨州一模)定义在R上的偶函数f(x)，且对任意实数x都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是________．
解析 由f(x＋2)＝f(x)得函数的周期为2.由g(x)＝f(x)－kx－k＝0，得f(x)＝kx＋k＝k(x＋1)，分别作出函数y＝f(x)，y＝k(x＋1)的图象，设A(3,1), B(－1,0)，1－0要使函数有4个零点，则直线y＝k(x＋1)的斜率0＜k≤kAB，因为kAB＝
3－?－1?1?11?
＝，所以0＜k≤，即实数k的取值范围是?0，4?. 44??1??
答案 ?0，4?
??
15．(2014·扬州质检)对于函数f(x)＝x|x|＋px＋q，现给出四个命题： ①q＝0时，f(x)为奇函数； ②y＝f(x)的图象关于(0，q)对称；
③p＝0，q＞0时，方程f(x)＝0有且只有一个实数根； ④方程f(x)＝0至多有两个实数根． 其中正确命题的序号为________．
解析 若q＝0，则f(x)＝x|x|＋px＝x(|x|＋p)为奇函数，所以①正确；由①知，当q＝0时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称，f(x)＝x|x|＋px＋q的图象由函数f(x)＝x|x|＋px向上或向下平移|q|个单位，所以图象关于(0，q)对称，所以
2
?x＋q，x≥0，
②正确；当p＝0，q＞0时，f(x)＝x|x|＋q＝?2当f(x)＝0，得
?－x＋q，x＜0，
x＝－q，只有一解，所以③正确；取q＝0，p＝－1，f(x)＝x|x|－x＝
4
2
?x－x，x≥0， ?2由f(x)＝0，可得x＝0，x＝±1有三个实根，所以④不正确．综?－x－x，x＜0，
上正确命题的序号为①②③. 答案 ①②③ 二、解答题
16．(2013·贵阳诊断)函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1， －1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值． ?f?8?＝2，?m＋loga8＝2，解 (1)由?得?
?f?1?＝－1，?m＋loga1＝－1，解得m＝－1，a＝2，
故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)] x2
＝log2－1(x＞1)．
x－1
?x－1?2＋2?x－1?＋1x21
∵＝＝(x－1)＋＋2≥ x－1x－1x－12
1
?x－1?·＋2＝4.
x－1
1
，即x＝2时，等号成立．而函数y＝log2x在(0，＋∞)x－1
当且仅当x－1＝
x2
上单调递增，则log2 －1≥log24－1＝1，
x－1故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.
17．(2014·齐齐哈尔调研)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围． 解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1
5
2015高考数学一轮方法测评练：方法强化练 - 函数与基本初等函数
