数学（理）参考答案
一．选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 D 5 A 6 A 7 D 8 A 9 C 10 D 11 B 12 C 12.由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1， 2，4，8，16，5）…，
则第t组的和为20?21?????2t?1?t?2t?1?t，数列共有2?3??????t?1??t?t?3?项，2t?t?3?21?2tt?t?1?t?t?1?t?1当n?时，S??t??2??2,随t增大而增大， n21?222??t?10时，n?65，S65?2048?45?2?2091，
t?11时，n?77，S77?4096?55?2?4194，第65项后的项依次为20，21，22，…，
11，…，又2?2?2?????2210，20，21，
02m?11?2m??2m?1，29?1?511，210?1?1023，1?22091?511?3000，2091?1023?3000，∴满足条件的最小的n值为65?10?75.
二．填空题
13. ?x?R,sinx?1 14. 2 15. x?y?16. 在
中，由正弦定理
，
解得：
，可得：，可得：
，
，
，
22210 x?1?0 16. 103，
，，可得：
，
，
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，
在中，由余弦定理可得：， 解得：，或3．，
，可得：，可得：与
矛盾，
，在
中，由正弦定理
，可得：
．
三.解答题
17.若p真： m?x2对?x?[0,1]恒成立，则m?0； 若q真：??m2?4?0，则?2?m?2.
Qp?q为假命题，p?q为真命题，则p,q一真一假.
若p真且q假，则??m?0?m??2或m?2，得m??2；
若p假且q真，则??m?0?m?2，得0?m?2.
??2综上所述：m的取值范围为(??,?2]?[0,2). 18.（1）Q
2sinA?bcosC?ccosB??3a
?由正弦定理得2sinA?sinBcosC?sinCcosB??3sinA，QsinA?0 ? sin?B?C??3?22，即sinA?32又A??0,??，? A?3或A??3.
（2）A??3，由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA，
即b2?c2?bc?13 ?(b?c)2?3bc?13 ，
而?ABC的面积为33 ?12bcsinA?33 ?bc?12. (b?c)2?49 ?b?c?7 ??ABC的周长为7?13.
19.（1）设数列{an}的公差为d，
，，
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由a1?2,且a3是a2与a4?1的等比中项得：(2?2d)?(2?d)(3?3d),?d?2或?1. 当?d??1时，a3?2?2d?0与a3是a2与a4?1的等比中项矛盾，舍去.?an?a1?(n?1)d?2n. （2）bn?221111??(?)
n(2n?4)n(n?2)2nn?21111111111?Sn?[(1?)?(?)?(?)???(?)?(?)]
232435n?1n?1nn?2 ?32n?31111. (1???)??42(n?1)(n?2)22n?1n?220.（1）由题意，知x，y满足的条件为上
述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分含边界 （2）根据第一问的规划和题设条件，依题意 可知目标函数为
平移直线，当经过直线其纵截距最大， 解方程以当
，
与
，解得
，
，即
，此时
万元，所
与
的交点A时，
，在上图中，作直线：
时，z取得最大值，即投资人用5万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才
能确保亏损不超过万元，且使可能的利润最大
21.（1）证明：在棱形ABCD中，可得DB?AC，
因为平面AEFC?平面ABCD，且交线为AC，所以DB?平面AEFC， 因为EF?平面AEFC，所以BD?EF.
（2）因为平面AEFC?平面ABCD，且交线为AC，由EA?AC，得EA?平面ABCD. 取EF的中点M，以O为坐标原点，以OA为x轴， OB为y轴， OM为z轴，建立空间z 直角坐标系，则B0,3,0,D0,?3,0,E?1,0,2?,F??1,0,4?.
uuur所以DB?0,2???uuur3,0?,DE??1,??3,2.
? - 8 - y 设平面BDE的法向量nr1??x,y,z?
ruuur，由{nr?unDEu1ur?DB?23y?0?x?3y?2z?0 ，可取nr1??2,0,?1? 1由uDFuur???1,3,4?.设平面DEF的法向量为nr2??u,v,w?，
同上得，可取nr2??1,?3,1?.则cosnrr11,n2?5?5?15，
因二面角B?DE?F为钝二面角，故其余弦值为?15. a1322.（1）由1?S1?1?3a1a得1?2S11n?1?anSn?1?1?3a.由3，可知n?1，
可得a13a1n?11n?1?an?1?3an，即2an?1??an.因为a1?0，所以an?0，故
a??n2因此{a313n?1n}是首项为?1?2，公比为?2的等比数列，故an?2??.
??2??3n?1n?1（2）由（1）知b?n?2??.
??2??0所以T3?1?1?3?2?1?13?3?1?23n?1?n?1n?2???2???2???2???2???2???L?2????2??①
两边同乘以?12得 ????1?2??Tn?3?1?123n2???1?2???3?2?2???1?2???3?3?2???1?2???L?3n2?????1?2??② ①②相减得
?123n?1?1?1??T33?1?3?1?3?13nn?2?n?2?2???2???2???2???2????2???L?32?????1?2???2?????1?2?? 3n?1?3??1?????1?从而322???2??2???3n?1?n2?2??1?n2Tn?1?12???2?于是?Tn?3???n?3?????2?， ??2当n是奇数时，T2?2??1?n?n?23?n?3????2?，因为?T1?n???n?2?Tn??3n??2???0，
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3221n23. 当n是偶数时，Tn??(n?)()?,因此Tn?. 23323233因为Tn?m，所以m?，m的最小值为.
22所以Tn?T1?
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2020-2021学年高二数学（理）12月月考试题
