第四节 微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中有着广泛的应用，
的经济量为未知函数，时间 几个简单应用．
一、 供需均衡的价格调整模型
在完全竞争的市场条件下， 商品的价格由市场的供求关系决定， 或者说， 某商品的供给量 S 及需求量 D 与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为
S a b P,D a bP,
1
1
有关经济量的变化、 变化率问题常转化为微分方
即以所研究
程的定解问题． 一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型， 来解释相应的经济量的意义或规律，
t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解
最后作出预测或决策， 下面介绍微分方程在经济学中的
其中 a1,b1,a,b 均为常数，且 b1＞ 0,b＞ 0； P 为实际价格． 供需均衡的静态模型为
D a bP,
S a1 b1P, D(P) S(P).
显然，静态模型的均衡价格为
a a1 ． P b b1
e
对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗ 价格上涨；反之，价格下跌，因此，
alras）假设： 超额需求［ D(P) S(P)］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而
t 时刻价格的变化率与超额需求D S 成正比，即
dP dt
k(D S)，于是瓦尔拉假设下的动态模型为
D a bP(t ),
S a1 b1P(t ), dP
k[ D (P) S(P)]. dt
整理上述模型得
dP d t
(Pe P),
其中 k(b b1)＞ 0,这个方程的通解为
P(t) Pe Ce t ．
P ,于是动态价格调整模型的解为
假设初始价格为 P(0) P0
,代入上式得， C P 0
e
t
P(t) Pe ( P0 Pe)· e ，
由于 ＞ 0，故
lim P(t) Pe．
t
这表明，随着时间的不断延续，实际价格
二、 索洛 (Solow) 新古典经济增长模型
P(t)将逐渐趋于均衡价格
Pe．
1
设 Y(t)表示时刻 t 的国民收入， K(t)表示时刻 t 的资本存量， L( t)表示时刻 t 的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：
Y f (K , L) Lf (r ,1), dK
sY(t ), L L0e t .
dt
K
其中 s 为储蓄率 (s＞ 0)， 为劳动力增长率 (
＞0) ， L0 表示初始劳动力 (L 0＞0)， r
K rL 两边对 t 求导，并利用
称为资
本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将 有
L dL dt
L ，
dK dt
L
dr dt
r
dL
L
d r
rL
．
dt
d t
又由模型中的方程可得
dK
sLf(r ,1),
dt
于是有
dr dt
r sf(r,1)．
(10 4 1)
道格拉斯 (Cobb Douglas) 函数，即
， 0 1 ＝ A0 f(K ,L) L Lr A K
其中 A0＞ 0，0＜ ＜ 1 均为常数． 取生产函数为柯布
易知 f(r,1)
A0r ，将其代入 (10 4 1)式中得
dr dt
r sA0r ．
(10 4 2)
方程两边同除以 r ，便有
r
令 r
1
z,则
dz
(1
)
dr dt
dr dt
r 1 sA ．
0
,上述方程可变为
dt
dz
d t
z Ce
(1 )t
(1 ) z sA0(1 )．
这是关于 z 的一阶非齐次线性方程，其通解为
sA0
( C 为任意常数 )．
以 z r1
代入后整理得
1
r(t)Ce
(1 )t
sA0 1
．
当 t 0 时，若 r (0) r0,则有
C r 0
1
－ A0．
s
于是有
2
1
(1 )t1
r(t)(r0
s
- A0 )e
sA0 1
．
1
因此，
lim r (t)
t
( A0 )1 ．
s
1
事实上，我们在 (10 4 2)式中，令
dr
dt
0,可得其均衡值 re ( A0 )1
s
.
三、 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场，
t 时刻的销量为 x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一
个宣传品，因此， t 时刻产品销售的增长率
dx
dt
与 x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一
定的市场容量 N，统计表明
有
dx
与尚未购买该产品的潜在顾客的数量
N x(t)也成正比，于是
dt
dx
kx(N x)， dt
x(t)
(10 4 3)
其中 k 为比例系数，分离变量积分，可以解得
N 1 Ce kNt
(10
4 4)
方程 (10 4 3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式 由
(10 4 4) 也称为逻辑斯谛曲线．
dx dt
CN 2ke kNt 1 Ce kNt
2
以及
d 2 x CN 3k 2e kNt (Ce kNt 1) dt 2
1 Ce kNt
，
3
当 x( t*) ＜ N 时，则有
dxN
＞ 0，即销量 x(t)单调增加． 当 x(t*) N 时， d x
20;当 x(t*) ＞
N
时，
dt
2
dt 2
2
d2x
dt
2
＜ 0；当 x(t*) ＜ 时，
d2x
dt
＞0．即当销量达到最大需求量
N 的一半时，产品最为畅
2
2
销，当销量不足
N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．
国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式 (10 4 4)的曲线十分接近，
根据对曲线性状的分析， 许多分析家认为， 在新产品推出的初期， 应采用小批量生产并加强 广告宣传，而在产品用户达到
20%到 80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%
时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．
3
习题104
1． 某公司办公用品的月平均成本 且 C(0) 1,求 C(x)．
C 与公司雇员人数 x 有如下关系： C′ C2e x 2C
2． 设 R R(t)为小汽车的运行成本， S S(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程： R′
a S
,
S′ bS,
其中 a,b 为正的已知常数，若 R(0) 0,S(0) S0(购买成本 ) ，求 R(t)与 S(t)．
3． 设 D D( t)为国民债务， Y Y(t)为国民收入，它们满足如下的关系：
D ′ Y ,Y′Y
其中 , , 为正已知常数．
(1) 若 D(0) D0 ,Y(0) Y0,求 D( t)和 Y(t); (2) 求极限 lim
t
D (t)
．
Y (t)
4． 设 C C(t)为 t 时刻的消费水平， I I(t)为 t 时刻的投资水平， Y Y(t)为 t 时刻的国民收入，它们满足下列方程
Y C I
C I , aY b, 0 kC ,
a 1,b 0,a,b均为常数 ,
k 0为常数 .
(1) 设 Y(0) Y0，求 Y(t),C(t),I(t); (2) 求极限 lim
t
Y(t )
I (t )
5000 条，鱼可以自然繁殖，因此鱼数
y 和池内还能容纳的鱼数
y
(5000 y)
5． 某养殖场在一池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼
是时间 t 的函数 y y(t)，实验表明，其变化率与池内鱼数
的乘积成正比， 若开始放养的鱼为 400 条，两个月后池塘内鱼的数量为 550 条，求放养半年后池塘内鱼的条数．
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