3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
f(t)E2 … …?T?T02E2T2Tt? 图3-1
解 由图3-1可知，f(t)为奇函数，因而an?a0?0
4T2?bn??2f(t)sin(n?1t)dt,?1?T0T?4E?2Esin(n?t)dt?cos(n?1t)1?T2n?1T0T20T2
所以，三角形式的傅利叶级数（FS）为
f(t)?2E?112??sin(?t)?sin(3?t)?sin(5?t)??,?? 1111???35T??n?0,?2,?4,??0,1?指数形式的傅利叶级数（FS）的系数为Fn??jbn??jE
2?,n?0,?1,?3,???n?所以，指数形式的傅利叶级数为
jEj?1tjE?j?1tjEj?1tjE2? f(t)??e?e?e?3e?j?1t??,?1???3??T
3-2 周期矩形信号如图3-2所示。若：
f(t)E?T??20?2Tt 图3-2
重复频率f?5kHz 脉宽 ??20?s
幅度 E?10V
求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS）的系数
12?Fn??2Tf(t)ejn?1tdt,?1?T?2T?12E?n?1?jn?1tEedt?sin??T??2n??2?T??E??n?1??Sa?????T?2??jn?1t ?e?
则的指数形式的傅利叶级数（FS）为
f(t)?n????Fenjn?1tE??Tn????Sa????n?1?2其直流分量为F0?limE??n?1??E?Sa? ??n?0T2T??基波分量的幅度为F?1?F1?2E???sin??1?? ?2??二次谐波分量的幅度为F?2?F2????sin?2?1?? ?2??E三次谐波分量的幅度为F?3?F3?由所给参数f?5kHz可得
2E???sin?3?1?? 3?2???1?104?rad/s,T?2?10?4s 将各参数的值代入，可得
10?20?10?6?1V 直流分量大小为
2?10?4
基波的有效值为
2?10102sin104??10?10?6?sin18??1.39(V)
?2???二次谐波分量的有效值为
1052sin2?104??10?10?6?sin36??1.32(V)?2???
三次谐波分量的有效值为
2?10102sin3?104??10?10?6?sin524??1.21(V)
3?32???3-3 若周期矩形信号f1(t)和f2(t)的波形如图3-2所示，f1(t)的参数为??0.5?s，
T?1?s ，E?1V； f2(t)的参数为??1.5?s，T?3?s ，E?3V，分别求：
（1）f1(t)的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz表示； （2）f2(t)的谱线间隔和带宽； （3）f1(t)与f2(t)的基波幅度之比； （4）f1(t)基波与f2(t)三次谐波幅度之比。
解 由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为
E?f(t)?T2??n?1??jn?1tSae,?? ???12T?????且基波幅度为
2E??2E??t??sin??1???sin?? ?2????T?2E???2E?3?t?sin?3?1???sin?? 3?2?3???T?三次谐波幅度为
另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频?1。 周期矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为
2?n??2???令1???n?1?????。注意，频谱还可以表示为频率f的函数。由?2?????2?f可知，若以f为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为f?1?。
依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下： （1）f1(t)的谱线间隔?11??1000kHz T1?s1?1?2000kHz 0.5?s带宽（第一零点位置）??
信号与系统课后习题与解答第三章Word版
