三角函数高考题及练习题(含答案)

三角函数高考题及练习题(含答案)

三角函数高考题及练习题（含答案）

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．

2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．

3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．

π

1. 函数y＝2sin2?x－?－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)

4??

函数．

答案：π 奇

π

解析：y＝－cos?2x－?＝－sin2x.

2??

2. 函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________． 答案：3

解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．

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ππ

3. 函数y＝2sin(3x＋φ)，?|φ|

122??

π答案： 4

ππππ

解析：由已知可得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所12242

π以φ＝.

4

π

4. 若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间?0，?上的最大值是2，则ω＝________．

3??

3答案： 4

πωπππ

解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在?0，?上单调递增，且在这个区间

3333??

ωπωππωππ3

上的最大值是2，所以2sin＝2，且0<<，所以＝，解得ω＝. 333344

题型二 三角函数定义及应用问题

例1 设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.

13

(1) 若点P的坐标是?，?，求f(θ)的值；

?22?

?x＋y≥1，

?

(2) 若点P(x，y)为平面区域?x≤1，

??y≤1

上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求

函数f(θ)的最小值和最大值．

解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝

31

，cosθ＝，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据定义22

π

及角的范围得角θ＝，从而求出 f(θ)＝2)．

3

ππ

(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sin?θ＋?，

26??

π

∴ 当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝，f(θ)max＝2.

3

(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、

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单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别

225

与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：

105

(1) tan(α＋β)的值； (2) α＋2β的值．

π225，cos β＝，α、β∈?0，?，所以sin α＝1－cos2α1052??

725＝，sin β＝1－cos2β＝， 105

1

因此tan α＝7，tan β＝.

2

17＋2tanα＋tanβ

(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.

11－tanαtanβ

1－7×2

1－3＋2

(2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.

1

1－（－3）×

2

解：由题意得cos α＝3 / 13

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3π3π

又α＋2β∈?0，?，所以α＋2β＝. 42??

题型二 三角函数的图象与解析式问题

例2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；

π

(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．

3??

解：(1)由题图可知A＝2，

7π3πT7πππ

∵ ＝－＝，∴ ω＝2.又2×＋φ＝2kπ＋，

41234122

π

∴ φ＝2kπ＋(k∈Z)，

3

π6

∴ f(0)＝2sin?2kπ＋?＝.

3?2?

πππππ

(2) φ＝，f(x)＝2sin?2x＋?.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以

33333??π

0≤sin?2x＋?≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．

3??

(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)

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已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且1

当x＝时，f(x)max＝2.

3

(1) 求f(x)的解析式；

2123?(2) 在闭区间??4，4?上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．

2π

解：(1) 因为f(x)＝A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.

ω

ππ11

又当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝

3326

ππ

2sin?πx＋2kπ＋?＝2sin?πx＋?(k∈Z)．

6?6???

π

故f(x)的解析式为f(x)＝2sin?πx＋?.

6??

(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称

ππ1211235965

轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤.

6234341212

2123?16，上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝. 又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间??44?3

题型三 三角函数的性质与图象的移动问题

例3 把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，

17π

所得函数的图象关于直线x＝对称．

8

(1) 求m的最小值；

17π15π?(2) 证明：当x∈?－时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为，－88??

负数；

(3) 设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．

1－cos2x1＋cos2x

(1) 解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3·＝cos2x－sin2x

22

π

＋2＝2cos?2x＋?＋2.

4??

π

因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝2?2（x＋m）＋?＋2

4??

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