三角函数高考题及练习题(含答案)
三角函数高考题及练习题(含答案)
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.
2. 高考试题中,三角函数题相对比较传统,位置靠前,通常是以简单题形式出现,因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性,特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).
3. 三角函数是每年高考的必考内容,多数为基础题,难度属中档偏易.这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法,如函数法、待定系数法、数形结合法等.
π
1. 函数y=2sin2?x-?-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)
4??
函数.
答案:π 奇
π
解析:y=-cos?2x-?=-sin2x.
2??
2. 函数f(x)=lgx-sinx的零点个数为________. 答案:3
解析:在(0,+∞)内作出函数y=lgx、y=sinx的图象,即可得到答案.
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ππ
3. 函数y=2sin(3x+φ),?|φ|
122??
π答案: 4
ππππ
解析:由已知可得3×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z.因为|φ|<,所12242
π以φ=.
4
π
4. 若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间?0,?上的最大值是2,则ω=________.
3??
3答案: 4
πωπππ
解析:由0≤x≤,得0≤ωx≤<,则f(x)在?0,?上单调递增,且在这个区间
3333??
ωπωππωππ3
上的最大值是2,所以2sin=2,且0<<,所以=,解得ω=. 333344
题型二 三角函数定义及应用问题
例1 设函数f(θ)=3sinθ+cosθ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.
13
(1) 若点P的坐标是?,?,求f(θ)的值;
?22?
?x+y≥1,
?
(2) 若点P(x,y)为平面区域?x≤1,
??y≤1
上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求
函数f(θ)的最小值和最大值.
解:(1) 根据三角函数定义得sinθ=
31
,cosθ=,∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义22
π
及角的范围得角θ=,从而求出 f(θ)=2).
3
ππ
(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤,又f(θ)=3sinθ+cosθ=2sin?θ+?,
26??
π
∴ 当θ=0,f(θ)min=1;当θ=,f(θ)max=2.
3
(注: 注意条件,使用三角函数的定义, 一般情况下,研究三角函数的周期、最值、
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单调性及有关计算等问题时,常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式)
如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别
225
与单位圆相交于A、B两点,已知A、B的横坐标分别为、.求:
105
(1) tan(α+β)的值; (2) α+2β的值.
π225,cos β=,α、β∈?0,?,所以sin α=1-cos2α1052??
725=,sin β=1-cos2β=, 105
1
因此tan α=7,tan β=.
2
17+2tanα+tanβ
(1) tan(α+β)===-3.
11-tanαtanβ
1-7×2
1-3+2
(2) tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1.
1
1-(-3)×
2
解:由题意得cos α=3 / 13
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3π3π
又α+2β∈?0,?,所以α+2β=. 42??
题型二 三角函数的图象与解析式问题
例2 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示. (1) 求f(0)的值;
π
(2) 若0<φ<π,求函数f(x)在区间?0,?上的取值范围.
3??
解:(1)由题图可知A=2,
7π3πT7πππ
∵ =-=,∴ ω=2.又2×+φ=2kπ+,
41234122
π
∴ φ=2kπ+(k∈Z),
3
π6
∴ f(0)=2sin?2kπ+?=.
3?2?
πππππ
(2) φ=,f(x)=2sin?2x+?.因为0≤x≤,所以≤2x+≤π,所以
33333??π
0≤sin?2x+?≤1,即f(x)的取值范围为[0,2].
3??
(注:本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图象与性质以及诱导公式,运用数形结合思想,属于中档题)
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已知函数f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A、B、ω是常数,ω>0)的最小正周期为2,并且1
当x=时,f(x)max=2.
3
(1) 求f(x)的解析式;
2123?(2) 在闭区间??4,4?上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.
2π
解:(1) 因为f(x)=A2+B2sin(ωx+φ),由它的最小正周期为2,知=2,ω=π.
ω
ππ11
又当x=时,f(x)max=2,知π+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ+(k∈Z),所以f(x)=
3326
ππ
2sin?πx+2kπ+?=2sin?πx+?(k∈Z).
6?6???
π
故f(x)的解析式为f(x)=2sin?πx+?.
6??
(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称
ππ1211235965
轴,令πx+=kπ+(k∈Z),解得x=k+(k∈Z),由≤k+≤,解得≤k≤.
6234341212
2123?16,上存在f(x)的对称轴,其方程为x=. 又k∈Z,知k=5,由此可知在闭区间??44?3
题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
例3 把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0),
17π
所得函数的图象关于直线x=对称.
8
(1) 求m的最小值;
17π15π?(2) 证明:当x∈?-时,经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为,-88??
负数;
(3) 设x1,x2∈(0,π),x1≠x2,且f(x1)=f(x2)=1,求x1+x2的值.
1-cos2x1+cos2x
(1) 解:f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=-sin2x+3·=cos2x-sin2x
22
π
+2=2cos?2x+?+2.
4??
π
因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0),得到g(x)=2?2(x+m)+?+2
4??
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