小题满分练8
一、单项选择题
1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝1－x}，则A∩B等于( ) A．{1} C．(0,1) 答案 D
解析 ∵A＝{y|y>0}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝(0,1]． 5i
2．复数等于( )
1－2iA．2－i C．－2＋i 答案 C 解析
5i?1＋2i?5i＝＝－2＋i. 1－2i?1－2i??1＋2i?
B．1－2i D．－1＋2i B．(0，＋∞) D．(0,1]
3．(2020·新高考全国Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A．62% B．56% C．46% D．42% 答案 C
解析 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，
设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x， 则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.
4. (2020·新高考全国Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A．20° B．40° C．50° D．90° 答案 B
解析 如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，
由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，
又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直， 则晷针AC与水平面所成角为40°.
π
2x＋?图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐5．(2020·郑州模拟)将函数f(x)＝2sin?3??π
标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称
12轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) π
A．x＝－
245π
C．x＝
24答案 A
π
2x＋?图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变， 解析 将函数f(x)＝2sin?3??ππ
4x＋?，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象， 得y＝2sin?3??12π2ππ
x＋?＋?＝2sin?4x＋?， 则g(x)＝2sin?4??12?33??
π
B．x＝ 4π
D．x＝
12
??
2ππ1π
由4x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，
32424
π
当k＝0时，所得对称轴离原点最近，即离原点最近的对称轴方程为x＝－. 24
6．已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 025)等于( )
A．0 B．2 025 C．3 D．－2 013 答案 A
解析 ∵函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称， ∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0，即y轴对称， ∴y＝f(x)为R上的偶函数，
又对任意x∈R，均有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)， 令x＝－3，得f(6－3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)， ∴f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)， ∴函数y＝f(x)是以6为周期的函数， ∴f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝0.
x2y2
7. (2020·大庆模拟)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与函数y＝x(x≥0)的图象交于点P，若函
ab数y＝x的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(－4,0)，则双曲线的离心率是( )
A.C.17＋4
417＋2
4
B.D.
17＋3
417＋1
4
答案 D
解析 设P的坐标为(m，m)，
1
又左焦点F(－4,0)，函数的导数y′＝，
2x则在P处的切线斜率k＝y′|x＝m＝即m＋4＝2m，得m＝4， 则P(4,2)，设右焦点为A(4,0)， 则2a＝|PF|－|PA|＝64＋4－
0＋4＝2(17－1)， m＝， 2mm＋41
2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：小题满分练8
