课时达标训练(九) 解析几何中的基本问题
A组——抓牢中档小题
1.若直线l1:mx+y+8=0与l2:4x+(m-5)y+2m=0垂直,则m=________. 解析:∵l1⊥l2,∴4m+(m-5)=0,∴m=1. 答案:1
2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=45
0的距离为,则圆C的方程为____________.
5
解析:因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d=2a5=
2
4522
,解得a=2,所以圆C的半径r=|CM|=2+(5)=3,所5
2
以圆C的方程为(x-2)+y=9.
答案:(x-2)+y=9
3.(2019·无锡期末)以双曲线-=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是
54________.
解析:由题可设抛物线的方程为y=2px(p>0),双曲线中,c=5+4=3,所以双曲线的右焦点的坐标为(3,0),则抛物线的焦点坐标为(3,0),所以=3,p=6,所以抛物线
2的标准方程为y=12x.
答案:y=12x
4.已知直线l过点P(1,2)且与圆C:x+y=2相交于A,B两点,△ABC的面积为1,则直线l的方程为________.
解析:当直线斜率存在时,设直线的方程为y=k(x-1)+2,即kx-y-k+2=0.因为
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
pS△ABC=CA·CB·sin∠ACB=1,所以×2×2×sin∠ACB=1,所以sin∠ACB=1,即∠ACB|-k+2|3=90°,所以圆心C到直线AB的距离为1,所以=1,解得k=,所以直线方程为
4k2+13x-4y+5=0;当直线斜率不存在时,直线方程为x=1,经检验符合题意.综上所述,直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1.
答案:3x-4y+5=0或x=1
5.已知圆M:(x-1)+(y-1)=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点,若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A的横坐标的取值范围为________.
2
2
1
212
解析:由题意知,过点A的两直线与圆M相切时,夹角最大,当∠BAC=60°时,|MA||MB|222
===4.设A(x,6-x),所以(x-1)+(6-x-1)=16,解得x=1或xsin∠BAMsin 30°
=5,因此点A的横坐标的取值范围为[1,5].
答案:[1,5]
6.(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-2)+(y-2)=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上,则实数k的最小值为________.
解析:圆(x-2)+(y-2)=1关于x轴的对称圆的方程为(x-2)+(y+2)=1,由题意得,圆心(2,-2)到直线kx+y+3=0的距离d=4实数k的最小值为-. 3
4
答案:-
3
7.(2019·南京四校联考)已知圆O:x+y=1,半径为1的圆M的圆心M在线段CD:y=x-4(m≤x≤n,m<n)上移动,过圆O上一点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,且满足∠APB=60°,则n-m的最小值为________.
解析:设M(a,a-4)(m≤a≤n),则圆M的方程为(x-a)+(y-a+4)=1.连接MP,MB,则MB=1,PB⊥MB.因为∠APB= 60°,所以∠MPB=30°,所以MP=2MB=2,所以点P在以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
|2k-2+3|4
≤1,解得-≤k≤0,所以
3k2+1
M为圆心,2为半径的圆上,连接OM,又点P在圆O上,所以点P为圆x2+y2=1与圆(x-a)2+(y-a+4)2=4的公共点,所以2-1≤OM≤2+1,即1≤a2+(a-4)2≤3,得
??2a-8a+15≥0,2222
?2解得2-≤a≤2+.所以n≥2+,m≤2-,所以n-m≥2.
2222?2a-8a+7≤0,?
2
答案:2
8.(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若圆M:(x-4)+(y-m)=4上存在唯一的点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为________.
解析:设点P(x0,y0),则直线PA的方程为y=同理可得直线PB在y轴上的截距为-(x+1), 在y轴上的截距为,
x0+1x0+1
2
2
y0y0
5y0
,由直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,得-x0-5
5y0y022
×=5,化简,得(x0-2)+y0=9(y0≠0),所以点P的轨迹是以C(2,0)为圆心,x0-5x0+1
3为半径的圆(点A(-1,0),B(5,0)除外),由题意知点P的轨迹与圆M恰有一个公共点,
若A,B均不在圆M上,因此圆心距等于半径之和或差,则2+m=5,解得m=±21;或2+m=1,无解.若A或B在圆M上,易得m=±3,经检验成立.所以m的值为±21或±3.
答案:±21或±3
2
2
22
x2y2
9.(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近
ab线与圆x+y-6y+5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是________.
解析:由圆x+y-6y+5=0,得圆的标准方程为x+(y-3)=4,所以圆心C(0,3),
2
2
2
2
2
2
x2y2
半径r=2.因为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近线bx±ay=0与该圆没有公共点,则圆心
ab|b×0±a×3|c3
到直线的距离应大于半径,即>2,即3a>2c,即e=<,又e>1,故双曲线离
a2b2+a2
?3?心率的取值范围是?1,?.
?2?
?3?答案:?1,? ?2?
10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x+(y-3)=2,点A是x轴上的一个动点,
2
2
AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围是________.
2?π?解析:设∠PCA=θ,θ∈?0,?,所以PQ=22sin θ.又cos θ=,AC∈[3,+
2?AC?∞),所以cos θ∈?0,
?
?2??0,2?,sin2θ=1-cos2θ∈?7,1?,因为2
,所以cosθ∈?9??9??
????3?
θ∈?0,?,所以sin θ∈?2
?
?
?
?214?答案:?,22?
?3?
π??7??214?
,1?,所以PQ∈?,22?. ?3??3?
11.(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中,已知MN是⊙C:(x-1)+(y-2)=2的一条弦,且CM⊥CN,P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时,直线l:x-3y-5=0上π
存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立,则线段AB长度的最小值是________.
2
解析:因为MN是⊙C:(x-1)+(y-2)=2的一条弦,且CM⊥CN,P是MN的中点,所2
r=1,点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1.圆心C到直线l:x-3y-5=0的2
|1-3×2-5|π
距离为2=10.因为直线l上存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立,所以ABmin
2
21+(-3)以PC==210+2.
答案:210+2
12.(2018·苏锡常镇调研)已知直线l:x-y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上.圆
2
2
22
22
C:(x-2)+y=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP,则点P的横坐标的取值集合为________.
解析:法一:由AB⊥BP,得点B在以AP为直径的圆D上,所以圆D与圆C相切. 由题意得A(-2,0),C(2,0).若圆D与圆C外切,则DC-DA=2;若圆D与圆C内切,则DA-DC=2.所以圆心D在以A,C为焦点的双曲线-=1上,即14x-2y=7.
1722又点D在直线l??y=x+2,2
上,由?2得12x-8x-15=0,解得2
?14x-2y=7,?
x2y2
22
xD=或xD=-.所以xP3
256
1
=2xD-xA=2xD+2=5或xP=.
3
法二:由题意可得A(-2,0),设P(a,a+2),则AP的中点M?
?a-2,a+2?,AP=
2??2?
a-2?2?a+2?2?|a+2|?2?2(a+2),故以AP为直径的圆M的方程为?x-?+?y-2?=??.由题意2?????2?
2
得圆C与圆M相切(内切和外切),故
22
?a-2-2?+?a+2?=?2±|a+2|?,解得a=?2??2????????2?
?1?1
或a=5.故点P的横坐标的取值集合为?,5?. 3?3?
?1?
?答案:,5? ?3?
x2y2
13.已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点.若
ab△FAB的周长最大时,△FAB的面积为ab,则椭圆的离心率为________.
解析:设直线x=m与x轴交于点H,椭圆的右焦点为F1,由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2(FA+AH)=2(2a-F1A+AH),因为F1A≥AH,故当F1A=AH时,△FAB的周长最大,
b??b??此时直线AB经过右焦点,从而点A,B坐标分别为?c,?,?c,-?,所以△FAB的面积为a??a??
12b12b222
·2c·,由条件得·2c·=ab,即b+c=2bc,b=c,从而椭圆的离心率为e=. 2a2a2
答案:
2
2
2
2
2
2
2
2
22
14.已知A,B是圆C1:x+y=1上的动点,AB=3,P是圆C2:(x-3)+(y-4)=1―→―→
上的动点,则|PA+PB|的取值范围为________.
解析:因为A,B是圆C1:x+y=1上的动点,AB=3,所以线段
2
2
AB的中点H在圆O:x2+y2=上,且|PA+PB|=2|PH|.因为点P14
―→―→―→
3―37→―→1322
是圆C2:(x-3)+(y-4)=1上的动点,所以5-≤|PH|≤5+,即≤|PH|≤,所
2222―→―→―→
以7≤2|PH|≤13,从而|PA+PB|的取值范围是[7,13].
答案:[7,13]
B组——力争难度小题
1.(2019·苏锡常镇四市一模)若直线l:ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A,
B,圆O:x2+y2=1上存在点C,使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),则实数a的
取值范围为________.
解析:法一:根据题意得,圆O:x+y=1上存在点C,使得点C到直线l的距离为1,那么圆心O到直线l的距离不大于2,即
|4a|
≤2,解得-2
33
≤a≤,于是a的取值范33
2
2
1+a围是?-
?
?33?,?. 33?
法二:因为△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),所以点C在以AB为直径的圆上,记圆心为M,半径为1,且CM⊥直线l,又点C也在圆O:x+y=1上,所以C是两圆的交点,即OM≤2,所以dOM=|4a|1+a≤2,解得-23333??
≤a≤,于是a的取值范围是?-,?. 333??3
2
2
答案:?-
?
?33?,? 33?
x2y2
2.(2017·全国卷 Ⅰ )已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,
abb为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离
心率为________.
解析:双曲线的右顶点为A(a,0),一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0,则圆|ba-a×0|ab心A到此渐近线的距离d==.又因为∠MAN=60°,圆的半径为b,所以b·sin
cb2+a260°=,即
baabc3bab223=,所以e==. 2c33
23
答案:
3
3.(2019·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)+(y+k-4)=1上任一点P作圆C2:x+y=1的一条切线,切点为Q,则当|PQ|最小时,k=________.
解析:由题意得,圆C1与圆C2外离,如图.因为PQ为切线,所
2
2
2
2
(江苏专用)2020高考数学二轮复习课时达标训练(九)解析几何中的基本问题
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