课时达标训练(九) 解析几何中的基本问题
A组——抓牢中档小题
1．若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________． 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1. 答案：1
2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝45
0的距离为，则圆C的方程为____________．
5
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝
2
4522
，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝2＋（5）＝3，所5
2
以圆C的方程为(x－2)＋y＝9.
答案：(x－2)＋y＝9
3．(2019·无锡期末)以双曲线－＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是
54________．
解析：由题可设抛物线的方程为y＝2px(p＞0)，双曲线中，c＝5＋4＝3，所以双曲线的右焦点的坐标为(3，0)，则抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以＝3，p＝6，所以抛物线
2的标准方程为y＝12x.
答案：y＝12x
4．已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x＋y＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________．
解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y－k＋2＝0.因为
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
pS△ABC＝CA·CB·sin∠ACB＝1，所以×2×2×sin∠ACB＝1，所以sin∠ACB＝1，即∠ACB|－k＋2|3＝90°，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以＝1，解得k＝，所以直线方程为
4k2＋13x－4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
答案：3x－4y＋5＝0或x＝1
5．已知圆M：(x－1)＋(y－1)＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．
2
2
1
212
解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，|MA||MB|222
＝＝＝4.设A(x，6－x)，所以(x－1)＋(6－x－1)＝16，解得x＝1或xsin∠BAMsin 30°
＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1，5]．
答案：[1，5]
6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)＋(y－2)＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．
解析：圆(x－2)＋(y－2)＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)＋(y＋2)＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝4实数k的最小值为－. 3
4
答案：－
3
7．(2019·南京四校联考)已知圆O：x＋y＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：y＝x－4(m≤x≤n，m＜n)上移动，过圆O上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，且满足∠APB＝60°，则n－m的最小值为________．
解析：设M(a，a－4)(m≤a≤n)，则圆M的方程为(x－a)＋(y－a＋4)＝1.连接MP，MB，则MB＝1，PB⊥MB.因为∠APB＝ 60°，所以∠MPB＝30°，所以MP＝2MB＝2，所以点P在以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
|2k－2＋3|4
≤1，解得－≤k≤0，所以
3k2＋1
M为圆心，2为半径的圆上，连接OM，又点P在圆O上，所以点P为圆x2＋y2＝1与圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）2≤3，得
??2a－8a＋15≥0，2222
?2解得2－≤a≤2＋.所以n≥2＋，m≤2－，所以n－m≥2.
2222?2a－8a＋7≤0，?
2
答案：2
8．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)＋(y－m)＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
解析：设点P(x0，y0)，则直线PA的方程为y＝同理可得直线PB在y轴上的截距为－(x＋1), 在y轴上的截距为，
x0＋1x0＋1
2
2
y0y0
5y0
，由直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，得－x0－5
5y0y022
×＝5，化简，得(x0－2)＋y0＝9(y0≠0)，所以点P的轨迹是以C(2，0)为圆心，x0－5x0＋1
3为半径的圆(点A(－1，0)，B(5，0)除外)，由题意知点P的轨迹与圆M恰有一个公共点，
若A，B均不在圆M上，因此圆心距等于半径之和或差，则2＋m＝5，解得m＝±21；或2＋m＝1，无解．若A或B在圆M上，易得m＝±3，经检验成立．所以m的值为±21或±3.
答案：±21或±3
2
2
22
x2y2
9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近
ab线与圆x＋y－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：由圆x＋y－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x＋(y－3)＝4，所以圆心C(0，3)，
2
2
2
2
2
2
x2y2
半径r＝2.因为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心
ab|b×0±a×3|c3
到直线的距离应大于半径，即>2，即3a>2c，即e＝<，又e>1，故双曲线离
a2b2＋a2
?3?心率的取值范围是?1，?.
?2?
?3?答案：?1，? ?2?
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x＋(y－3)＝2，点A是x轴上的一个动点，
2
2
AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．
2?π?解析：设∠PCA＝θ，θ∈?0，?，所以PQ＝22sin θ.又cos θ＝，AC∈[3，＋
2?AC?∞)，所以cos θ∈?0，
?
?2??0，2?，sin2θ＝1－cos2θ∈?7，1?，因为2
，所以cosθ∈?9??9??
????3?
θ∈?0，?，所以sin θ∈?2
?
?
?
?214?答案：?，22?
?3?
π??7??214?
，1?，所以PQ∈?，22?. ?3??3?
11．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C：(x－1)＋(y－2)＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上π
存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则线段AB长度的最小值是________．
2
解析：因为MN是⊙C：(x－1)＋(y－2)＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点，所2
r＝1，点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.圆心C到直线l：x－3y－5＝0的2
|1－3×2－5|π
距离为2＝10.因为直线l上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，所以ABmin
2
21＋（－3）以PC＝＝210＋2.
答案：210＋2
12．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆
2
2
22
22
C：(x－2)＋y＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．
解析：法一：由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切． 由题意得A(－2，0)，C(2，0)．若圆D与圆C外切，则DC－DA＝2；若圆D与圆C内切，则DA－DC＝2.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线－＝1上，即14x－2y＝7.
1722又点D在直线l??y＝x＋2，2
上，由?2得12x－8x－15＝0，解得2
?14x－2y＝7，?
x2y2
22
xD＝或xD＝－.所以xP3
256
1
＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝.
3
法二：由题意可得A(－2，0)，设P(a，a＋2)，则AP的中点M?
?a－2，a＋2?，AP＝
2??2?
a－2?2?a＋2?2?|a＋2|?2?2（a＋2），故以AP为直径的圆M的方程为?x－?＋?y－2?＝??.由题意2?????2?
2
得圆C与圆M相切(内切和外切)，故
22
?a－2－2?＋?a＋2?＝?2±|a＋2|?，解得a＝?2??2????????2?
?1?1
或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为?，5?. 3?3?
?1?
?答案：，5? ?3?
x2y2
13．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点．若
ab△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为________．
解析：设直线x＝m与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因为F1A≥AH，故当F1A＝AH时，△FAB的周长最大，
b??b??此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为?c，?，?c，－?，所以△FAB的面积为a??a??
12b12b222
·2c·，由条件得·2c·＝ab，即b＋c＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为e＝. 2a2a2
答案：
2
2
2
2
2
2
2
2
22
14．已知A，B是圆C1：x＋y＝1上的动点，AB＝3，P是圆C2：(x－3)＋(y－4)＝1―→―→
上的动点，则|PA＋PB|的取值范围为________．
解析：因为A，B是圆C1：x＋y＝1上的动点，AB＝3，所以线段
2
2
AB的中点H在圆O：x2＋y2＝上，且|PA＋PB|＝2|PH|.因为点P14
―→―→―→
3―37→―→1322
是圆C2：(x－3)＋(y－4)＝1上的动点，所以5－≤|PH|≤5＋，即≤|PH|≤，所
2222―→―→―→
以7≤2|PH|≤13，从而|PA＋PB|的取值范围是[7，13]．
答案：[7，13]
B组——力争难度小题
1．(2019·苏锡常镇四市一模)若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，
B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的
取值范围为________．
解析：法一：根据题意得，圆O：x＋y＝1上存在点C，使得点C到直线l的距离为1，那么圆心O到直线l的距离不大于2，即
|4a|
≤2，解得－2
33
≤a≤，于是a的取值范33
2
2
1＋a围是?－
?
?33?，?. 33?
法二：因为△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，所以点C在以AB为直径的圆上，记圆心为M，半径为1，且CM⊥直线l，又点C也在圆O：x＋y＝1上，所以C是两圆的交点，即OM≤2，所以dOM＝|4a|1＋a≤2，解得－23333??
≤a≤，于是a的取值范围是?－，?. 333??3
2
2
答案：?－
?
?33?，? 33?
x2y2
2．(2017·全国卷 Ⅰ )已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，
abb为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离
心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆|ba－a×0|ab心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin
cb2＋a260°＝，即
baabc3bab223＝，所以e＝＝. 2c33
23
答案：
3
3．(2019·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)＋(y＋k－4)＝1上任一点P作圆C2：x＋y＝1的一条切线，切点为Q，则当|PQ|最小时，k＝________．
解析：由题意得，圆C1与圆C2外离，如图．因为PQ为切线，所
2
2
2
2
(江苏专用)2020高考数学二轮复习课时达标训练(九)解析几何中的基本问题
