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2017年考研数学三真题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
?1?cosx,x?0?1．若函数f(x)??在x?0处连续，则 ax?b,x?0?11（B）ab??（C）ab?0（D）ab?2 221x1?cosx12【详解】lim，limf(x)?b?f(0)，要使函数在x?0处连续，f(x)?lim?lim?x?0?x?0?x?0?axax2ax?0?11必须满足?b?ab?．所以应该选（A）
2a2（A）ab?2．二元函数z?xy(3?x?y)的极值点是（ ）
（A）(0,0) （B）(0,3) （C）(3,0) （D）(1,1)
【详解】
?z?z?y(3?x?y)?xy?3y?2xy?y2，?3x?x2?2xy，
?y?x?2z?2z?2z?2z??2y,2??2x,??3?2x 2?x?y?x?y?y?x??z2?3y?2xy?y?0???x2解方程组?，得四个驻点．对每个驻点验证AC?B，发现只有在点(1,1)处满足
??z?3x?x2?2xy?0???yAC?B2?3?0，且A?C??2?0，所以(1,1)为函数的极大值点，所以应该选（D）
3．设函数f(x)是可导函数，且满足f(x)f?(x)?0，则
（A）f(1)?f(?1) （B）f(1)?f(?1) （C）f(1)?f(?1) （D）f(1)?f(?1) 【详解】设g(x)?(f(x))，则g?(x)?2f(x)f?(x)?0，也就是?f(x)?是单调增加函数．也就得到
22?f(1)?2??f(?1)??f(1)?f(?1)，所以应该选（C）
sin?kln(1?)?收敛，则k?（ ） ??n??nn?2?24． 若级数
?11?（A）1 （B）2 （C）?1 （D）?2
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?11?1?2??1?1111k1【详解】ivn??时sin?kln(1?)??k???????o?2??(1?k)?2?n2?n???n?nnnn2n??显然当且仅当(1?k)?0，也就是k??1时，级数的一般项是关于（C）．
5．设?为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
（A）E???不可逆 （B）E???不可逆 （C）E?2??不可逆 （D）E?2??不可逆
TTTT?1o?2?n?? ?1的二阶无穷小，级数收敛，从而选择nT【详解】矩阵??的特征值为1和n?1个0，从而E???,E???,E?2??,E?2??的特征值分
TTTT别为0,1,1,1；2,1,1,,1；?1,1,1,,1；3,1,1,,1．显然只有E???T存在零特征值，所以不可逆，
应该选（A）．
?200??210??100???????6．已知矩阵A??021?，B??020?，C??020?，则
?001??001??002???????（A）A,C相似，B,C相似 （B）A,C相似，B,C不相似 （C）A,C不相似，B,C相似 （D）A,C不相似，B,C不相似
【详解】矩阵A,B的特征值都是?1??2?2,?3?1．是否可对解化，只需要关心??2的情况．
?000???对于矩阵A，2E?A??00?1?，秩等于1 ，也就是矩阵A属于特征值??2存在两个线性无关的
?001???特征向量，也就是可以对角化，也就是A~C．
?0?10???对于矩阵B，2E?B??000?，秩等于2 ，也就是矩阵A属于特征值??2只有一个线性无关的
?001???特征向量，也就是不可以对角化，当然B,C不相似故选择（B）． 7．设A,B，C是三个随机事件，且A,C相互独立，B,C相互独立，则A条件是（ ）
（A）A,B相互独立 （B）A,B互不相容 （C）AB,C 相互独立 （D）AB,C互不相容 【详解】
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B与C相互独立的充分必要
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P((AB)C)?P(AC?AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(ABC)
P(AB)P(C)?(P(A)?P(B)?P(AB))P(C)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(AB)P(C)
显然，A． B与C相互独立的充分必要条件是P(ABC)?P(AB)P(C)，所以选择（C ）
8．设X1,X2,1n,Xn(n?2)为来自正态总体N(?,1)的简单随机样本，若X??Xi，则下列结论中不
ni?1正确的是（ ）
（A）
?(Xi??)2服从?2分布 （B）2?Xn?X1?服从?2分布
i?1n2 （C）
?(Xi?1ni?X)2服从?2分布 （D）n(X??)2服从?2分布
n解：（1）显然(Xi??)~N(0,1)?(Xi??)~?(1),i?1,2,22n且相互独立，所以?(Xi??)2服从
i?1?2(n)分布，也就是（A）结论是正确的；
（2）
?(Xi?1ni?X)?(n?1)S?22(n?1)S2?2~?2(n?1)，所以（C）结论也是正确的；
2（3）注意X~N(?,)?n(X??)~N(0,1)?n(X??)~（4）对于选项（B）：(Xn?X1)~N(0,2)?1n?2(1)，所以（D）结论也是正确的；
Xn?X11~N(0,1)?(Xn?X1)2~?2(1)，所以（B）结
22论是错误的，应该选择（B）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．
????(sin3x??2?x2)dx? ．
解：由对称性知
??(sin??3x???x)dx?2?22?0??xdx?22?32．
t10．差分方程yt?1?2yt?2的通解为 ．
x【详解】齐次差分方程yt?1?2yt?0的通解为y?C2； tt设yt?1?2yt?2的特解为yt?at2，代入方程，得a?tt所以差分方程yt?1?2yt?2的通解为y?C2?1； 21tt2. 2?Q11．设生产某产品的平均成本C(Q)?1?e，其中产量为Q，则边际成本为 .
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【详解】答案为1?(1?Q)e平均成本C(Q)?1?e?Q?Q．
?Q，则总成本为C(Q)?QC(Q)?Q?Qe，从而边际成本为
C?(Q)?1?(1?Q)e?Q.
12．设函数f(x,y)具有一阶连续的偏导数，且已知df(x,y)?yedx?x(1?y)edy，f(0,0)?0，则
yyf(x,y)?
【详解】df(x,y)?yedx?x(1?y)edy?d(xye)，所以f(x,y)?xye?C，由f(0,0)?0，得C?0，所以f(x,y)?xye．
yyyyy?101???13．设矩阵A??112?，?1,?2,?3为线性无关的三维列向量，则向量组A?1,A?2,A?3的秩
?011???为 ．
?101??101??101???????【详解】对矩阵进行初等变换A?112?011?011，知矩阵A的秩为2，由于
???????011??011??000????????1,?2,?3为线性无关，所以向量组A?1,A?2,A?3的秩为2．
14．设随机变量X的概率分布为P?X??2??1，P?X?1??a，P?X?3??b，若EX?0，则2DX? ．
【详解】显然由概率分布的性质，知a?b?1?1 2111EX??2??1?a?3?b?a?3b?1?0，解得a?,b?
24499EX2?2?a?9b?，DX?EX2?E2(X)?．
22三、解答题
15．（本题满分10分） 求极限lim?x?0?x0x?tetdtx3 【详解】令x?t?u，则t?x?u,dt??du，
?x0x?tetdt??x0uex?udu
x?0?lim?x0x?tetdtx3?lim?x?0ex?x0ue?udux3??limx?0?x0ue?udux3xe?x2?lim? x?0?3x32 范文范例 学习指导
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16．（本题满分10分）
y3计算积分??dxdy，其中D是第一象限中以曲线y?x与x轴为边界的无界区域． 242(1?x?y)D【详解】
??xy3y3dxdy??dx?dy242242??00(1?x?y)(1?x?y)D24xd(1?x?y)1????dx?040(1?x2?y4)2
?17．（本题满分10分） 求lim1???11???2??dx?1??????4?0?1?x21?2x2?8?2??n???nk?1nk2?k?ln?1?? ?n?【详解】由定积分的定义
k?k?1nk?k?1lim?2ln?1???lim?ln?1????xln(1?x)dxn???n?n??nk?1n?n?0k?1n
111??ln(1?x)dx2?20418．（本题满分10分） 已知方程
n11??k在区间(0,1)内有实根，确定常数k的取值范围．
ln(1?x)x11?,x?(0,1)，则
ln(1?x)x【详解】设f(x)?11(1?x)ln2(1?x)?x2f?(x)???2?2 22(1?x)ln(1?x)xx(1?x)ln(1?x)令g(x)?(1?x)ln(1?x)?x，则g(0)?0,g(1)?2ln2?1
222g?(x)?ln2(1?x)?2ln(1?x)?2x,g?(0)?0
g??(x)?2(ln(1?x)?x)?0,x?(0,1)，所以g?(x)在(0,1)上单调减少，
1?xg?(x)?g?0)?0，由于g?(0)?0，所以当x?(0,1)时，也就是g(x)g?(x)在(0,1)上单调减少，当x?(0,1)时，g(x)?g(0)?0，进一步得到当x?(0,1)时，f?(x)?0，也就是f(x)在(0,1)上单调减少．
?11111?x?ln(1?x)1，，也就是得到． f(1)??1?1?k?limf(x)?lim??lim???x?0?x?0?x?0?ln(1?x)ln2ln22x?xln(1?x)2? 范文范例 学习指导
2017年考研数学三真题和解析
