关于上下极限的一些问题
利用上下极限我们可以更加完整地刻画和分析序列的性态。 正确理解这个概念的
精细之处并不容易。深入把握并熟练运用上下极限的技巧已超出了我们的教学要求。因此同
学们可根据自己的情况对这部分内容做出适当的安排。
通常有两种方式定义上下极限。课本里给出的定义（第一章总复习题题15，第24页）
称为上下极限的确界定义。 此外，我们还可以定义序列的上下极限分别为序列的最大和最
小的聚点。我们称这种定义为聚点定义。（序列的任意一个收敛子列的极限称作为序列的一
个聚点，也称序列的极限点。）我们在课堂里已经证明了这两种定义的等价性。
上下极限的聚点定义似乎更容易直观理解和把握。而确界定义则更具有实际操作意义。
以下我们列出一些关于上下极限的性质。它们的证明有些比较容易，如(i)的证明。根据
上下极限的聚点定义，结论是显而易见的。有些不太容易，但也不太难，努力一下可以证出
来。如(ii)的证明。所有证明在这里均从略。在吉米多维奇习题解答的书中，可以找到相
关的证明。
设序列{xn}，{yn}均有界，则下列结论成立。
(i) 若xn?yn，?n?n0 ，则limxn?limyn，limxn?limyn。（保序性） (ii) limxn?limyn?lim(xn?yn)?lim(xn?yn)?limxn?limyn。 (iii) lim(?xn)??limxn，lim(?xn)??limxn。
(iv) 若xn,yn?0，则?limxn??limyn??lim(xnyn)?lim(xnyn)?(limxn)(limyn) (v) 若极限limxn存在，则
n???lim(xn?yn)?limxn?limyn，lim(xn?yn)?limxn?limyn
(vi) 若xn?0，则lim1111??， lim xnlimxnxnlimxn参照材料# 1
(vii) 若xn?a?0，且极限limxn存在，则
n???lim(xnyn)?(limxn)(limyn)， lim(xnyn)?(limxn)(limyn)。
以下四道题均涉及到序列极限的存在性。 我们将利用上下极限的技术来证明极限的存
在性，以显示上下极限技术很给力。
题1. 设数列{xn}满足0?xn?m?xn?xm，?n,m?1 。证明极限limn???xn存在。（这道题n与第一章总复习题题14第24页类似。）
注: 如果哪位同学能够证明所述极限的存在性，但不使用上下极限技术，请一定和老师取得
联系。这说明你真的很厉害。
证明：根据关系式 0?xn?m?xn?xm，我们容易得到
0?xn?nx1。 这表明0?xn?x??x1，?n?1， 即序列?n?有界。因此其上下极限满足 n?n?0?limxnx?limn?x1。 nn任意固定正整数m。 则每个正整数n均可表为n?km?r，其中0?r?m。仍根据
0?xn?m?xn?xm，我们得 0?xn?kxm?xr。 因此
限（关于指标n取） 得
xnkxmxr??。现在我们取上极nnnlimxnkxx?limm?limr。注意正整数m固定， 数r虽然随着n在变化，但0?r?m。 nnnkxmxk(n?r)/mxm?xmlim?xmlim?，并且limr?0。 nnnmn于是 lim这就得到对于任意固定的正整数m， 我们得到
limxnxm?。 对这个不等式左边关于m取下极限得 nmxnxxxx?limm。这表明limn?limn。因此极限limn存在。证毕。
n???nnmnn2
lim参照材料#
题2：设数列{an}由递推关系式an?1?1?1，?n?1，a1?1确定。讨论数列{an}的收an敛性。（这是课本的习题1.4题14， 第19页）。
解：不难确定1?an?2，?n?1。利用性质(vi), 对关系式an?1?1?1两边分别取上极限an和下极限， 我们可以得到 liman?1?11，liman?1?。 记?:?liman，limanliman。由此得到?????1和?????1。从而有
?:?liman， 则有??1?1?，??1?1????。 此即序列{an}的上下极限相等。因此它的极限存在。进一步可确定其极限值为二
次方程?2???1的正根?0?(1?5)/2。解答完毕。
注：当然可以用其他方法证明序列{an}极限的存在性。不难证明a2n?1?有上界?0，a2n?有下界?0。因此它们均有极限。 不难确定它们的极限值相等。 细节略。
题3：利用上下极限技术，证明Stolz定理（?/?型）：考虑极限liman。假设bn???严
n???bn格，且极限liman?an?1an?l。存在，记作l（这里允许l???和l???），则极限lim
n???b?bn???bnn?1nan?an?1?l知，
n???b?bnn?1证明：以下只证明l为有限的情形。其它情形的证明类似。根据假设lim对于???0，?N?0，使得
l???于是
an?an?1?l??， ?n?N。
bn?bn?1l???aN?1?aN?l??，
bN?1?bNaN?2?aN?1?l??，
bN?2?bN?1l????
参照材料#
3
l???an?an?1?l??，?n?N。
bn?bn?1根据分数不等式（见第一次习题课讨论题）可知，
l???an?aN?l??，?n?N。
bn?bN将上式写作
anaN?bnbnl????l??，?n?N。（*）
b1?Nbn由假设bn???知，limaNb?0，limN?0。 于不等式（*）分别取上极限和下极限
n???bn???bnn得 l???limana?l??，l???limn?l??。由于上下极限均为确定的常数，且正数bnbnana?l?limn。这就证明了定理的结论。证毕。 bnbn??0可以任意小，因此必有lim题4：设两个序列{an}，{bn}由关系式bn?an?2an?1 相联系。证明，若序列{bn}收敛，则序列{an}也收敛。
证明：我们将证明序列{an}的上下极限相等。为此，我们先证明序列{an}有界。由假设序列{bn}收敛知，序列{bn}有界。将关系式 bn?an?2an?1写作an?1?(an?bn)/2。这样不难由归纳法证明序列{an}有界。
记A:?liman，A:?liman，B:?limbn。将关系式bn?an?2an?1 写作
2an?1?bn?an。 （**）
对等式（**）分别取上下极限，并利用上下极限的性质(iii)和(v)，就得到
2A?B?A，2A?B?A。由此立刻得到A?A。即序列{an}的上下极限相等。从而序
列{an}收敛。证毕。
参照材料# 4
关于上下极限的一些问题(特选内容)
