河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2?y2?2，若将军从点A?3,0?处出发，河岸线所在直线方程为x?y?4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（A．25【答案】B【解析】由题点A?3,0?和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，设点A?3,0?关于直线x?y?4的对称点A?(a,b)，B．17?2）．C．17D．3?2AA?中点M(
a?3b
,)在直线x?y?4上，22?a?3b
??4??a?4?22
解得：?，即A?(4,1)，设将军饮马点为P，到达营区点为B，则总路程?
?b?1?b?0?1
??a?3
PB?PA?PB?PA?，要使路程最短，只需PB?PA?最短，即点A?到军营的最短距离，即点A?到x2?y2?2区域的最短距离为：OA??2?17?2故选：B『点睛』此题结合中国优秀传统文化内容考查点关于直线对称问题，以及圆外的点到圆上点的最小距离，对数形结合思想要求较高.『解题思路』数学文化问题考查学生的数学阅读能力.解题思路是：从大量的问题中提取有效信息，抽象成数学问题，运用我们学过的数学知识求解习题.【举一反三】（2020南昌一模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为()，若去除所有为1A．4072B．2026C．4096D．2048【答案】A【解析】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn
2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn
，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选：A．【点睛】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【2018湖北】我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的渐近线方程为y??2x，一个焦点为?5,0．直线y?0与y?3在?第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．【举一反三】1．（2020?岳阳一模）阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足点的轨迹为圆．已知圆O：x2+y2＝1和上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝【答案】A【解析】分析：画出图形，通过|MB|＝λ|MA|，求解轨迹方程，推出λ，然后求解三角形的面积．解：设点M（x，y），由|MB|＝λ|MA|，得，整理得2＝t（t＞0且t≠1）为常数，则P，若定点B（b，0）（b≠﹣）和常数λ满足：对圆O，△MAB面积的最大值为．，所以解得λ＝2，b＝﹣2如右图，当M（0，1）或M（0，﹣1）时，故答案为：2；．．考向4.取材几何图形渗透数学美例4.(2019·甘肃)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．【解析】若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即2R＝82＋（2＋2）2＋22＝221，所以R＝21，球形容器的表面积S＝4πR2＝84π.【答案】84π【举一反三】【2019贵州模拟考试《黄金卷二》】如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为的锐角为，则（），小正方形的面积为，直角三角形较小A．【答案】DB．C．D．【解析】大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的边长为，小正方形边长为.设四个全等的直角三角形的长直角边为，则短直角边为由勾股定理得，解得为直角三角形较小的锐角，所以所以sin2??2sin?cos??
2425【精选试题】1．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f(x)?sin的最小正周期为（A．15?【答案】C【解析】由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60故可得：y?sin
）B．12?C．6?D．3?2x
?cos3x3
2x
的周期T1?3?,32
y?cos3x的周期T2??,3
T1、T2的最小公倍数为6?，故f(x)的最小正周期为6?.故选：C.2．(2019全国Ⅰ卷文科）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5?15?1
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最（22
美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5?1
．若某人满足上述两个黄2
金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是(B)A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（A．一尺五寸【答案】BB．二尺五寸）D．四尺五寸C．三尺五寸
2020数学基地--文化素养专题
