§8.1 空间几何体的结构、表面积与体积
最新考纲 1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．
1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 侧棱 侧面形状
(2)旋转体的结构特征
名称 图形 母线
多边形 相交于一点但不一定相等 三角形 互相平行 互相平行且全等 平行且相等 平行四边形 延长线交于一点 梯形 圆柱 圆锥 圆台 球 相交于一点 1
延长线交于一点 平行、相等且垂直
于底面 轴截面 侧面 展开图
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台 全等的矩形 矩形 全等的等腰三角形 扇形 全等的等腰梯形 扇环 圆 侧面展开图 侧面积公式
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球
概念方法微思考
1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？
提示 不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱． 2．如何求不规则几何体的体积？
提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．
表面积 S表面积＝S侧＋2S底 S表面积＝S侧＋S底 S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝4πR2 体积 V＝S底·h 1V＝S底·h 31V＝(S上＋S下＋S上S下)h 34V＝πR3 3S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )
2
(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( √ ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )
(5)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝
3
a.( √ ) 2
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 教材改编
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) 3A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
2答案 B
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， ∴r2＝4，∴r＝2.
3．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)
答案 ③⑤ 题组三 易错自纠
4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) 32
A．12π B.π C．8π D．4π
3答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
答案 1∶47
11111
解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c
322221147
＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47. 484848
3
题型一 空间几何体的结构特征1．以下命题：
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B
解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确． 2．给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱． 其中不正确的命题为________．(填序号) 答案 ①②③
解析 对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．
综上，命题①②③不正确．
思维升华 空间几何体概念辨析题的常用方法
(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定． (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析． 题型二 空间几何体的表面积与体积
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命题点1 空间几何体的表面积
例1 (2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．122π C．82π 答案 B
解析 设圆柱的轴截面的边长为x， 则由x2＝8，得x＝22，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B. 命题点2 求简单几何体的体积
例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
B．12π D．10π
A．3 C．1 答案 C 解析 如题图，
因为△ABC是正三角形， 且D为BC中点，则AD⊥BC.
又因为BB1⊥平面ABC，AD?平面ABC，
故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD是三棱锥A－B1DC1的高． 1
所以V三棱锥A－B1DC1＝S△B1DC1·AD
31
＝×3×3＝1. 3
思维升华 空间几何体表面积、体积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
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3B. 2D.3 2
2020届高考步步高数学（理）一轮复习（京津鲁琼用解析版）第八章 8.1
