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2020 年江苏省高考数学试卷
参考公式： 柱体的体积 ??=??? ， 其中 S 是 柱体 的底面积， h 是 柱体 的高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 请把答案填写在 答 题 卡 相 应 位 置 上 ．
1 ．已知集合 ??={?1,0,1,2},??={0,2,3} ，则 ??∩??= ． 2 ．已知 i 是虚数单位，则复数 ??=(1+??)(2???) 的实部是 ． 3 ．已知一组数据 4,2??,3???,5,6 的平均数为 4 ，则 ?? 的值是 ． 4 ．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 ．
5 ．如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 -2 ，则输入 x 的值是 ．
6 ． 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 ??2?程为 ??=
√5?? 2
??2
??25
=1(??>0) 的一条渐近线方
，则该双曲线的离心率是 ．
237 ． 已知 y = f ( x ) 是奇函数，当 x ≥0 时， ??(??)=?? ， 则 ??(?8) 的值是 ．
8 ．已知sin2?(4+??)=3，则 sin?2?? 的值是 ．
??
2
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9 ． 如图，六角 螺帽 毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的 ． 已知 螺帽 的底面正六边形边长为 2 cm ， 高为 2 cm ，内孔半轻为 0.5 cm ，则此六角 螺帽 毛坯的体积是 cm .
10 ． 将 函数 ??=3sin?(2??+4) 的图象向右平移 6 个单位长度 ， 则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方 程是 ．
11 ．设 { a n } 是公差为 d 的等差数列， { b n } 是公比为 q 的等比数列．已知数列 { a n + b n } 的前 n 项和????=??2???+2???1(??∈??+) ， 则 d + q 的值是 ．
12 ．已知 5??2??2+??4=1(??,??∈??) ， 则 ??2+??2 的最小值是 ．
13 ．在△ ABC 中，????=4,????=3,∠??????=90° D 在边 BC 上，延长 AD 到 P ，使得 AP =9 ，若????=??????+(2???)???? （ m 为常数），则 CD 的长度是 ．
→
→
3
→
??
??
14 ．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ??(2,0) ， A ， B 是圆 C ： ??2+(???
12)2
√3=36 上的两个动点 ， 满足 ????=???? ， 则 △ PAB 面积的最大值
是 ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在 答 题 卡 指 定 区 域 内作答， 解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．
15 ．（ 14 分）在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AB ⊥ AC ， B 1 C ⊥平面 ABC ， E ， F 分别是 AC ， B 1 C 的中点．
（ 1 ）求证： EF ∥平面 AB 1 C 1 ；（ 2 ）求证：平面 AB 1 C ⊥平面 ABB 1 ．
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16 ．（ 14 分）
在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知??=3,??=√2,??=45° ．
（ 1 ）求 sin??? 的值 ；
（ 2 ）在边 BC 上取一点 D ，使得 cos?∠??????=?5 ， 求 tan?∠?????? 的值 ．
4
17 ．（ 14 分）
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行， ????′ 为铅垂线 (??′在 AB 上 ) ．经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h1 ( 米 ) 与 D 到 ????′ 的距离 a ( 米 ) 之间满足关系式 ?1=40??2 ；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2 ( 米 ) 与 F 到 ????′ 的距离 b ( 米 ) 之间满足关系式 ?2=?800??3+6?? . 已知点 B 到 ????′ 的距离为 40 米． （ 1 ）求桥 AB 的长度；
（ 2 ）计划在谷底两侧建造平行于 ????′ 的桥墩 CD 和 EF ，且 CE 为 80 米，其中 C ， E 在 AB 上 ( 不包括端点 ) ． . 桥墩 EF 每米造价 k ( 万元 ) 、桥墩 CD 每米造价 2?? ( 万元 )( k >0) ，问 ??′?? 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？
3
1
1
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18 ． （ 16 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 ??:
??24
+
??23
=1 的左、右焦点分别为 F 1 ，
F 2 ，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内， AF 2 ⊥ F 1 F 2 ，直线 AF 1 与椭圆 E 相交于另一点 B ． （ 1 ）求△????1??2 的周长；
（ 2 ）在 x 轴上任取一点 P ，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q ，求 ????????? 的最小值；
（ 3 ）设点 M 在椭圆 E 上，记△?????? 与△?????? 的面积分别为 S 1 ， S 2 ，若 ??2=3??1 ，求点 M 的坐标 ． 19 ． （ 16 分）
已知关于 x 的函数 ??=??(??),??=??(??) 与 ?(??)=????+??(??,??∈??) 在区间 D 上恒有 ??(??)≥?(??)≥??(??) ．
（ 1 ）若 ??(??)=??2+2??,??(??)=???2+2??,??=(?∞,+∞) ，求 h ( x ) 的表达式；
（ 2 ）若 ??(??)=??2???+1,??(??)=??ln???,?(??)=???????,??=(0,+∞) ，求 k 的取值范围；
（ 3 ）若 ??(??)=??4?2??2,??(??)=4??2?8,?(??)=4(??3???)???3??4+2??2(0<|??|≤√2), ??=[??,??]?[?√2,√2], 求证 ： ?????≤√7 ．
20 ． （ 16 分）已知数列 {????}(??∈???) 的首项 a 1 =1 ， 前 n 项和为 S n ． 设 λ 与 k 是常数，若对一切正整数 n ，均有 ????+1?????=??????+1 成立，则称此数列为 “ λ ～ k ” 数列 ．
（ 1 ） 若等差数列 {????} 是 “ λ ～ 1 ” 数列，求 λ 的值 ；
1
??1??1??→→
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（ 2 ） 若数列 {????} 是 “3～2 ” 数列，且 ????>0 ，求数列 {????} 的通项公式 ；
（ 3 ） 对于给定的 λ ，是否存在三个不同的数列 {????} 为 “ λ ～ 3 ” 数列，且 ????>0 ？ 若存在，求 λ 的取值范围 ； 若不存在，说明理由 ．
√3
2020 年江苏省高考数学试卷
