专题提升(十)以等腰或直角三角形为背景的计算与证明
类型之一 以等腰三角形为背景的计算与证明
【经典母题】
把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法．
解：如答图，作∠ABC的平分线，交AC于点D.在BA上截取BE＝BD，连结
ED，则沿虚线BD，DE剪两刀，分成的3个三角形都是等腰三角形．
【思想方法】 等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长的计算． 【中考变形】
1．[2017·湖南]已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画
A．3条
( B )
经典母题答图
B.4条 C.5条 D.6条
【解析】 如答图，当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形．
2．[2016·杭州]已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则 ( C ) A．m＋2mn＋n＝0 C．m＋2mn－n＝0
2
2
2
2
中考变形1答图
B.m－2mn＋n＝0 D.m－2mn－n＝0
2
2
2
2
2
2
2
22
【解析】 如答图，根据题意，得m＋m＝(n－m)，2m＝n－2mn＋m，m＋2mn－n＝0.
2
2
2
3．[2017·绍兴]已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β. (1)如图Z10－1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝__20__°，β＝__10__°. ②求α，β之间的关系式；
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一
中考变形2答图
个即可)；若不存在，请说明理由．
图Z10－1
解：(1)①∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠BAC＝60°， ∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°， ∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°， ∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°＋20°＝80°， ∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°.
②设∠B＝x，∠ADE＝y，∴∠C＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β， ∴α＝2β；
(2)Ⅰ.当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，如答图①，设∠B＝x，∠ADE＝y，∴∠C＝x，∠E＝y，
在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°， ∴α＝2β－180°.
中考变形3答图① 中考变形3答图②
Ⅱ.当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如答图②，同①的方法可得α＝180°－2β. 【中考预测】
[2016·菏泽]如图Z10－2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
(1)如图①，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°， ①求证：AD＝BE. ②求∠AEB的度数；
(2)如图②，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高线，BN为△ABE中AE23
边上的高线，求证：AE＝23CM＋BN.
3
图Z10－2
解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°， ∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°. ∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE.
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC.
AC＝BC，??
在△ACD和△BCE中，?∠ACD＝∠BCE，
??DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE； ②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC. ∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°， ∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°， ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°；
(2)证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°， 1
∴∠CDM＝∠CEM＝×(180°－120°)＝30°.
2∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM. 在Rt△CMD中，∠CDM＝30°， ∴DE＝2DM＝2×
＝23CM.
tan∠CDMCM∵∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE， 又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE.
∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°， ∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°， ∴∠BEN＝180°－120°＝60°.
在Rt△BNE中，∠N＝90°，∠BEN＝60°， ∴BE＝
23＝BN.
sin∠BEN3
BN∵AD＝BE，AE＝AD＋DE， 23
∴AE＝DE＋BE＝23CM＋BN.
3
类型之二 以直角三角形为背景的计算与证明 【经典母题】
已知：如图Z10－3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC.求证：BE⊥AC.
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°， 又∵BF＝AC，DF＝DC，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC， ∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC.
图Z10－3
【思想方法】 直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用． 【中考变形】
1．如图Z10－4，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是 A．70° B．65° C．60°
( B )
图Z10－4
D．55°
【解析】 ∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△
ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°
＝65°，由旋转的性质，得∠B＝∠A′B′C＝65°.
2．[2016·济宁]如图Z10－5，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件____AE＝CE(答案不唯一)__，使△AEH≌△CEB.
【解析】 该题为开放型题，根据垂直关系，可以找出△AEH与△CEB的两对相等的对应角，只需要找它们的一对对应边相等就可以了． ∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E， ∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°， 在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE， 在Rt△ABD中，∠EAH＝90°－∠B， ∴∠B＝∠AHE.
∴根据AAS添加AH＝CB或AE＝CE，根据ASA添加EH＝EB，可证△AEH≌△CEB. 故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE(答案不唯一)．
3．如图Z10－6，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC. (1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数． 解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE＝∠CBD.
图Z10－5
图Z10－6
AB＝CB，??
在△ABE和△CBD中，?∠ABE＝∠CBD，
??BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)； (2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ECA＝45°. ∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠CAE，
2018届中考数学复习 专题提升(十)以等腰或直角三角形为背景的计算与证明试题
