稳恒电流讲义
一、电路的基本概念及规律
1.电流强度
电荷的定向运动形成电流，电流强度即单位时间内通过导体任一截面的电量。设在时间间隔△t通过某一截面的电量为△Q，则电流强度为I??Q ?t电流的微观表达式 ：I?nes?（其中n为电荷的数密度，S为导体的横截面积，v为电荷定向移动的速度） 2.电流密度
在通常情况的电路问题中，通过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块导体中的电流的流动时，用电流强度描述就过于粗糙了，这是因为电流在截面上将会有一个强弱不同的分布，而且各点的电流方向可能并不一致。为此需引入电流密度j，电流密度的定义，考虑导体中某一给定点P，在该点沿电流方向作一单位矢量n，并取一面元△S与n垂直，设通过△S的电流强度为△I，则定义P点处电流密度的大小为
j??I ?nev ?S－
电流密度的单位为安培／米2（A·m2）。
?? 通过导体任一有限截面△S的电流强度为： I?lim?ji??Si
nn??i?13．电动势
正电荷在电场力的作用下从高电势处移到低电势处，而一非静电力把正电荷从低电势处搬运
到高电势处，提供非静电力的装置称为电源．电源内的非静电力克服电源内静电力作用，把流到负极的正电荷从负极移到正极．若正电荷q受到非静电力f非，则电源内有非静电场，非静电场的强
???????f度E非也类似电场强度的定义：Ek?非
q将非静电场把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时所做的功定义为电源的电动势，即
?????W非 ???E非??l?q4．欧姆定律
通过一段导体的电流强度与导体两端的电压成正比，与电阻R成反比，即
I?U R 这条定律，只适用于金属和电解液，即R为常数的情形。满足欧姆定律的元件的电阻称为线性电阻，对于非线性元件，欧姆定律不适用，但仍可定义电阻 R?U/I ，只是R还与工作状态下的电压、电流有关。
5．欧姆定律的微观表达式
设想在载有稳恒电流的各向同性的导体内取一长度为?l，垂直截面积为?S的小电流管分析，有
?I??U?U?I?U1???j?E??E（?为电导率）,即则：
?lR??S??l??S??j??E
6．含源电路的欧姆定律
如图所示含有电源的电路称为含源电路．含源电路的欧姆定律就是找出电路中两点间电压与电流的关系．常用“数电压”的方法．即从一点出发，沿一方向，把电势的升降累加起来得到另一点的电势，从而得到两点间的电压．设电流从a流向b，则有
11 aa、b两点间电压为 b a写成一般形式
U???Ir?IR??2?Ir2?Ub U?U???1??2?Ir1?IR?Ir 2b a闭合回路的欧姆定律：
U?U???i??（IRi）i
对于上图可把a、b两点连起来形成一闭合回路，则
Ua?Ub?0，即
??1??2?Ir1?IR?Ir2?0，
I??1-?2r1?r2?RI?，写成一般形式：
???Rii
二、题型与方法
题型一：复杂电路的计算问题 方法一：基尔霍夫定律
1：基尔霍夫第一定律——节点定则： 流入任何一个节点的总电流必等于流出该节点的总电流.
I1?I2?I3?I4
注意：N个节点，可以列N-1个独立方程
2：基尔霍夫第二定律——回路定则：
沿任一闭合回路的电势变化的代数和为零（或沿任一闭合回路,升高的电势等于降落的电势） 注意：M个网孔，可以列M个独立方程
【例1】如图所示，电源电动势?1?3.0V,?2?1.0V，内阻r1?0.5?,r2?1.0?，电阻 求电路中三条支路R1?10.0?,R2?5.0?,R3?4.5?,R4?19.0?，上的电流强度。
方法二：叠加原理
内容：含源网络中每一个支路中的电流，可以看作网络中每一个电源在支路中独立提供的电流的叠加．
方法：在计算每个电源独立作用提供的电流时，应将其它电源的电动势去掉，仅保留其内阻。 方法三：等效电压源（戴维宁定理）
任意一含源的二端网络都可以等效成一电动势为E0，电源内阻为r0的电源。 求E0 的方法：网络两端开路时的路端电压 求r0 的方法：网络除电源后的等效电阻
方法四：等效电流源（诺尔顿定律） 两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源后的等效电阻
【例2】如图，电路构成为四面体的棱，各电阻均为R=2Ω，各电源电动势均为E=2V，内阻均为r=1Ω，求节点B、C间的电压。
【例3】在如图复15-6所示的网络中，仅知道部分支路上电流值及其方向、某些元件参数和支路交点的电势值（有关数值及参数已标在图上）。请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻Rx的支路上的电流值及其方向。
【例4】若干个电阻构成如图所示的电路，其中A和B两点的接地电阻是固定不变的。输入电压V1，V2，…Vn仅取1V或0V两个值，0V表示接地。 (1)当n=3时，B点输出电压有几种可能的值？ (2)当n→∞时，B点的最大输出电压是多少？
题型二：等效电阻求解问题
2Ω
方法一：等势缩点法:利用对称性求电路的等效电阻问题
【例5】如图所示的电阻网络，每一段的电阻为r，求AB的等效电阻和MN之间的等效电阻。
【提高】由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的正方形网络系列．n=1时，正方形网络边长为L,n= 2时，小正方形网络的边长为L/3；n=3 时，最小正方形网络的边长为L/9．当 n=1、2、3 时，各网络上A、B两点间的电阻分别为多少？
【例6】一正方体，每一条边的电阻为R，求RAC，RAD，RAG。
【相关变换】如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间的等效电阻．
B A 【提高】如图所示，正六边形每条棱的电阻都为r，每个顶点至中心O连线电阻也为r。
1）求A,H两点的电阻；2）求A,B两点的电阻。
方法二：利用递推法求解等效电阻 【例7】：在图8-11甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A、B两点间的电阻RAB 。
【相关变换1】在图8-13甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B两点间的等效电阻RAB 。
【相关变换2】试求框架上A、B两点间的电阻RAB．此框架是用同种细金属制作的，单位长度的电阻为ρ．一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，如图所示．取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半．
【相关变换3】如图所示，由粗细、质地均匀的细金属丝连成的无限内接网络。已知金属丝单位长度的电阻为ρ，求等效电阻RAB（ABC为等边三角形，且边长为a，内接三角形的顶点均为三角形各边的中点）
2013年浙江大学物理竞赛讲义 - 恒定电流
