北师大版数学必修1：第二章 §3 知能演练轻松闯关

1．下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．f(x)＝－x＋3 B．f(x)＝(x＋1)2

1

C．f(x)＝－|x－1| D．f(x)＝

x

解析：选B.画出各个函数的图像，由单调函数图像特征可知，选项B正确．

b

2. 已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )

x

A．减函数且f(0)>0 B．增函数且f(0)>0 C．减函数且f(0)<0 D．增函数且f(0)<0 解析：选C.由题意，知a<0，b<0.

∴f(x)＝bx＋a在R上是减函数，且f(0)＝a<0.

3．如图为y＝f(x)的图像，则它的单调递减区间是________．

解析：由单调性定义可得． 答案：(－2,1)和(3，＋∞)

4．若f(x)是R上的增函数，且f(x)的图像经过点A(0，－1)和点B(3,3)，则不等式－1

解析：由题意可知f(0)＝－1，f(3)＝3. ∴－1

即不等式－1

[A级 基础达标]

1．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1

C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 2．若函数f(x)是R上的减函数，则下列各式成立的是( ) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)f(a) 解析：选C.a和2a，a2和a无法确定大小关系，所以不能确定相应函数值的大小关系，故A，

222

B错误；因为a＋2－2a＝(a－1)＋1>0，所以a＋2>2a，又函数f(x)是R上的减函数，所以

1?23222

f(a＋2)0，所以a＋1>a，又函数f(x)是R上的减?2?4

2

函数，所以f(a＋1)

A．函数y＝kx(k为常数，且k<0)在R上为增函数

2

B．函数y＝x在R上为增函数

1

C．函数y＝在定义域内为减函数

x1

D．函数y＝在(－∞，0)上为减函数

x

1

解析：选D.作出函数y＝kx(k<0)，y＝x2，y＝的图像(图略)即可判断．

x

1＋k

4．若函数y＝在区间(0，＋∞)上是减少的，则实数k的取值范围是________．

x

1＋k

解析：因为函数y＝在区间(0，＋∞)上是减少的，所以1＋k>0，解得k>－1.

x

答案：(－1，＋∞)

1

5．函数f(x)＝4－在(0，＋∞)上为________函数(填“增”或“减”)．

x

解析：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

11?x1－x2

f(x1)－f(x2)＝4－－?4－＝.

x1?x2?x1x2

因为x1，x2∈(0，＋∞)且x10，

x1－x2

所以f(x1)－f(x2)＝<0，即f(x1)

x1x21

所以函数f(x)＝4－在(0，＋∞)上是增函数．

x

答案：增

x

6．证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是增函数．

1＋x

证明：设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1

x1－x2xx

则f(x1)－f(x2)＝1－2＝.

1＋x11＋x2?1＋x1??1＋x2?

∵x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10,1＋x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0 即f(x1)

x

故f(x)＝在(－1，＋∞)上是增函数．

1＋x

[B级 能力提升]

7．已知定义在R上的增函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( ) A．一定大于0 B．一定小0 C．等于0 D．正负都有可能 解析：选A.x1＋x2>0.

∴x1>－x2.∴f(x1)>f(－x2)， ∴f(x1)>－f(x2)∴f(x1)＋f(x2)>0. 同理f(x1)＋f(x3)>0.f(x2)＋f(x3)>0. ∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0.

1，x＞0，??2

8．(2012·九江质检)设函数f(x)＝?0，x＝0，g(x)＝xf(x－1)，则函数g(x)的递减区间是

??－1，x＜0，( )

A．(－∞，0] C．[1，＋∞) 解析：选B.

B．[0,1) D．[－1,0]

?x，x＞1，?

g(x)＝?0，x＝1，如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.

2??－x，x＜1.

9．已知函数f(x)＝?

??x＋a?x≥0?，??ax＋2a－1?x<0?

2

在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是

________．

解析：当x≥0时，f(x)＝x＋a在[0，＋∞)上是递增的，∴f(x)≥f(0)＝a；当x<0时，由f(x)＝ax＋2a－1在(－∞，0)上也是递增的知a>0，且f(x)<2a－1.

又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴2a－1≤a，∴a≤1.综上，0

ax

10．讨论函数y＝2(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

x－1

ax1ax2

解：设－1

a?x1x2＋1??x2－x1?

. 2?x21－1??x2－1?

2

∵x1x2＋1>0，x2－x1>0，x21－1<0，x2－1<0，∴在当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－1,1)上是减函数；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

综上所述：当a>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数，当a<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．

x＋1

11．(创新题)已知函数f(x)＝，x∈[3,7]．

x－2

(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义加以证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值．

解：(1)函数f(x)在区间[3,7]内单调递减，证明如下： 在[3,7]上任意取两个数x1和x2， 且设x1>x2，

x1＋1x2＋1

∵f(x1)＝，f(x2)＝，

x1－2x2－2

x1＋1x2＋1

∴f(x1)－f(x2)＝－

x1－2x2－2