第46讲 直线的方程
一、课程标准
1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 二、基础知识回顾
1. 当直线l与x轴相交时，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线l的倾斜角，并规定：直线l与x轴平行或重合时倾斜角为0°，因此倾斜角α的范围是0°≤α＜180°．
2. 当倾斜角α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，常用k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，斜率不存在．当直线y2－y1
过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2时，k＝．
x2－x13. 直线方程的几种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
三、自主热身、归纳总结
1、 如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C
CC
【解析】 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、
AB二、四象限，不经过第三象限．故选C.
2、 若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
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方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于坐标轴的直线 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用
A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 【答案】 A
4－m
【解析】 由题意得＝1，解得m＝1.
m－（－2）
3、 直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
π3π
0，? B. ?，π? A. ??4??4?ππππ3π
0，?∪?，π? D. ?，?∪?，π? C. ??4??2??42??4?【答案】 B
3π?11
【解析】 由直线方程可得该直线的斜率为k＝－2，又－1≤－2<0，所以倾斜角的取值范围是??4，π?. a＋1a＋1
4、过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．
【答案】：x－2y＋2＝0或x＝2
【解析】：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，21211
2－?×2＝2，即? 1－?＝1，解得k＝，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有×?k?k??k2?21
所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
21
5、过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．
3【答案】4x＋3y－13＝0
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【解析】设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝
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－(x－1)，即4x＋3y－13＝0. 3
6、过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________． 【答案】2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0
－2xy6x
【解析】设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋a＋1aa＋1a2＋1yxy
＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 21＋11
四、例题选讲
考点一 直线的斜率与倾斜角
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?π，π??的倾斜角的取值范围是( ) 例1、（徐州一中模拟）(1)直线2xcos α－y－3＝0?α∈??63??
ππ?
A.??6，3? ππ?C.??4，2?
ππ?
B.??4，3? π2π? D.??4，3?
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__________．
【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)
ππ?13
，，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈【解析】(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因为α∈??63?22[1，3]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．
ππ?ππ
，，即倾斜角的取值范围是?，?. 又θ∈[0，π)，所以θ∈??43??43?(2)如图，因为kAP＝kBP＝
1－0
＝1， 2－1
3－0
＝－3， 0－1
所以k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
变式：（1）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3 C．k3＜k2＜k1
B．k3＜k1＜k2 D．k1＜k3＜k2
（2）若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________． （3）已知点(－1,2)和?3?
在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．
?3，0?
2π3π?【答案】（1）D （2） 4 （3） ??3，4?
【解析】（1）直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D.
5－3a－3（2）因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
6－45－4（3）（3）点(－1,2)和?
3??3a＋1?＞0，解得－
，0在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)?3??3?
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第46讲 直线的方程(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
